mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 25, 2024 2:20 pm**

: Τριχοτόμοι σε ορθογώνιο.png (16.56 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές

Στην βάση

του ισοσκελούς τριγώνου MAB

, με :

,

βρίσκεται σημείο

, με :

. Προεκτείνω την

, κατά τμήμα : MC=8

.

α) Υπολογίστε την

και δείξτε ότι είναι η μία τριχοτόμος της γωνίας $\widehat{ACB}$ .

β) Αν η

τέμνει την

στο σημείο

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SM}$ .

γ) Η άλλη τριχοτόμος τέμνει το

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DT}{TM}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 25, 2024 7:53 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 25, 2024 2:20 pm Τριχοτόμοι σε ορθογώνιο.pngΣτην βάση του ισοσκελούς τριγώνου , με : ,βρίσκεται σημείο , με : . Προεκτείνω την , κατά τμήμα : .
α) Υπολογίστε την και δείξτε ότι είναι η μία τριχοτόμος της γωνίας $\widehat{ACB}$ .
β) Αν η τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SM}$ .
γ) Η άλλη τριχοτόμος τέμνει το στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DT}{TM}$ .

α) Από Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle CAD$ έχουμε: $C{{D}^{2}}=A{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}\overset{\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle ABC}{\mathop{=}}\,A{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}=$ $9+256-121=144\Rightarrow CD=12$

Θεωρούμε το συμμετρικό

του

ως προς το

οπότε η

καθίσταται μεσοκάθετη της

και συνεπώς το $\vartriangle CED$ ισοσκελές με

(και) διχοτόμο, οπότε CE=CD=12

και $\angle ECD=2\left( \angle \theta \right)$

Εξάλλου είναι $\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{ED}{DB}\overset{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\,\mathsf{\Theta }.\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon }{\mathop{\Rightarrow }}\,CD$ διχοτόμος της γωνίας $\angle ECB\Rightarrow \angle ECD=\angle DCB\Rightarrow 2\left( \angle \theta \right)=\angle DCB$ $\overset{+\angle \theta }{\mathop{\Rightarrow }}\,3\left( \angle \theta \right)=\angle ACB\Rightarrow \angle \theta =\dfrac{\angle ACB}{3}$ και το α) ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Β) Αν

είναι το μέσο της

τότε στο τρίγωνο $\vartriangle CDB$ είναι (με

το μέσο της

από κατασκευής) $MN=\parallel \dfrac{DB}{2}=4$ οπότε από την παραλληλία $AD\parallel MN$ που οδηγεί στην ομοιότητα των τριγώνων $\vartriangle SAD,\vartriangle SMN\Rightarrow$ $\dfrac{SA}{SM}=\dfrac{AD}{MN}=\dfrac{3}{4}$ και το β) ερώτημα έχει απαντηθεί

Γ) από το Θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $\vartriangle ADM$ θα είναι $\dfrac{DT}{TM}=\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$ και τέλος

mathematica.gr

Τριχοτόμοι σε ορθογώνιο

Τριχοτόμοι σε ορθογώνιο

Re: Τριχοτόμοι σε ορθογώνιο