mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 8:53 am**

: Βρείτε το ύψος.png (6.55 KiB) Προβλήθηκε 731 φορές

Σε τρίγωνο ABC

, με :

, φέρουμε το ύψος

. α) Δείξτε ότι : $\dfrac{DB}{DC}<\dfrac{AB}{AC}$ .

β) Αν : $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}$ και : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε το ύψος AD=h

, συναρτήσει της βάσης

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 9:57 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2024 8:53 am Βρείτε το ύψος.pngΣε τρίγωνο , με : , φέρουμε το ύψος . α) Δείξτε ότι : $\dfrac{DB}{DC}<\dfrac{AB}{AC}$ .

β) Αν : $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}$ και : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε το ύψος , συναρτήσει της βάσης .

α) Στο σχήμα είναι DE||AC, DF||AB,

οπότε τα τρίγωνα EBD, FDC

είναι όμοια κι επειδή

AB<AC

θα είναι $\displaystyle DB < DC \Rightarrow DE < DF$ (1)

Εξάλλου, $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{BD}}{a} = \frac{{DE}}{b} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{CD}}{a} = \frac{{DF}}{c} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(:)} \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{c}{b} \cdot \frac{{DE}}{{DF}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{BD}}{{CD}} < \frac{c}{b}$

: Βρείτε το ύψος.png (13.62 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

Βγαίνει γρηγορότερα με θ. διχοτόμου, αλλά δεν ξέρω κατά πόσο είναι επιτρεπτό στο φάκελο.

β) $\displaystyle {c^2} - \frac{{{a^2}}}{9} = {h^2} = \frac{{9{c^2}}}{4} - \frac{{4{a^2}}}{9} \Leftrightarrow {c^2} = \frac{{4{a^2}}}{{15}}$ και $\boxed{ h = \frac{{a\sqrt {35} }}{{15}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 10:03 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2024 8:53 am Βρείτε το ύψος.pngΣε τρίγωνο , με : , φέρουμε το ύψος . α) Δείξτε ότι : $\dfrac{DB}{DC}<\dfrac{AB}{AC}$ .

β) Αν : $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}$ και : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε το ύψος , συναρτήσει της βάσης .

Μια άποψη για το πρώτο .

α) γράφω τον κύκλο , $\left( {A,B,C} \right)$ και έστω $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ ο βόρειος και νότιος πόλος του , το δε κέντρο του είναι το

.

Έστω ακόμα

το μέσο του

. Το

είναι εσωτερικό σημείο του κόκκινου τόξου .

Η διχοτόμος

του $\vartriangle ABC$ διέρχεται από το

. Είναι προφανές ότι το

είναι εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος

.

: Βρείτε το ύψος_a.png (12.25 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Ισχύουν ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} DB < BE \hfill \\ DC > EC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} DB < BE \hfill \\ \dfrac{1}{{DC}} < \dfrac{1}{{EC}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow DB \cdot \dfrac{1}{{DC}} < BE \cdot \dfrac{1}{{EC}}$ . Δηλαδή : $\boxed{\dfrac{{DB}}{{DC}} < \dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 11:02 am**

Νομίζω ότι υπάρχει λάθος στην απόδειξή μου στο α) ερώτημα. Θα το κοιτάξω αργότερα γιατί δεν προλαβαίνω τώρα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 11:13 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2024 8:53 am Βρείτε το ύψος.pngΣε τρίγωνο , με : , φέρουμε το ύψος . α) Δείξτε ότι : $\dfrac{DB}{DC}<\dfrac{AB}{AC}$ .

β) Αν : $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}$ και : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε το ύψος , συναρτήσει της βάσης .

Και ο υπολογισμός

Από Π. Θ. στα $\vartriangle DAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DAC$ έχω: $\left\{ \begin{gathered} {y^2} = 4{m^2} - 4{k^2}\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ {y^2} = 9{m^2} - 16{k^2}\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα $12{k^2} = 5{m^2}$ κι αφού a = 6k

έχω ${a^2} = 15{m^2}$ .

: Βρείτε το ύψος_b.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Τώρα η $\left( 1 \right)$ δίδει : $\boxed{{y^2} = 4{a^2}\left( {\dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{36}}} \right) \Rightarrow y = AD = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{{15}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 11:58 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2024 8:53 am Βρείτε το ύψος.pngΣε τρίγωνο , με : , φέρουμε το ύψος . α) Δείξτε ότι : $\dfrac{DB}{DC}<\dfrac{AB}{AC}$ .

β) Αν : $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}$ και : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε το ύψος , συναρτήσει της βάσης .

Για το πρώτο ερώτημα

$BD=D\Theta ,AD\perp BC,\hat{AL\Theta }=90+\hat{C},\hat{A\Theta L}=90-\hat{B},AL<A\Theta \dfrac{D\Theta }{DC} =\dfrac{AL}{AC}<\dfrac{AB}{AC}$

Για το δευτερο ερώτημα

$h^{2}=c^{2}-\dfrac{a^{2}}{9},(1),h^{2}=\dfrac{9c^{2}}{4}-\dfrac{4a^{2}}{9},(2), (1) ,(2)\Rightarrow 15c^{2}=4a^{2},h=\dfrac{a\sqrt{7}}{3\sqrt{5}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 2:20 pm**

Μια τριγωνομετρική προσέγγιση του α) ...

Οι γωνίες $B, \, C$ του τριγώνου ABC

είναι οξείες.

$\displaystyle{ AB<AC\Rightarrow B>C\Rightarrow cosB<cosC\Rightarrow \frac{BD}{AB}<\frac{DC}{AC}\Rightarrow \frac{BD}{DC}<\frac{AB}{AC}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 5:54 pm**

Συμπληρώνω την αιτιολόγηση ότι DE<DF

στην απόδειξή μου (#2).

: Βρείτε το ύψος.β.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

$\displaystyle AB < AC \Leftrightarrow \widehat B > \widehat C \Leftrightarrow B\widehat AD < D\widehat AC = E\widehat DA$

Άρα στο τρίγωνο DEA

είναι $\displaystyle DE < AE \Leftrightarrow DE < DF.$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 01, 2024 7:34 am**

: Λογιστική.png (6.71 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

Και μια λογιστική για το πρώτο : Αρκεί : $\dfrac{a^2+c^2-b^2}{a^2+b^2-c^2}<\dfrac{c}{b}$

$\Leftrightarrow (b-c)\left((b+c)^2-a^2\right)>0$ , κάτι που προφανώς ισχύει .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 02, 2024 1:51 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2024 8:53 am Βρείτε το ύψος.pngΣε τρίγωνο , με : , φέρουμε το ύψος . α) Δείξτε ότι : $\dfrac{DB}{DC}<\dfrac{AB}{AC}$ .

β) Αν : $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}$ και : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε το ύψος , συναρτήσει της βάσης .

Ακόμη μια λύση για το πρώτο ερώτημα

Προεκτείνουμε την

κατά τμήμα AE=AC=b

Είναι $b>c \Leftrightarrow \hat{B} > \hat{C} \Rightarrow \hat{A_{1}} < \hat{A_{2}} \Rightarrow \hat{A_{1}} +\hat{A_{2} } < 2 \hat{A_{2} } \angle \Rightarrow 2 \hat{\omega } <2 \hat{A_{2}} \Rightarrow \hat{\omega }< \hat{A_{2}}$

Έτσι $\hat{\omega }+ \hat{C} < \hat{A_{2}} + \hat{C} \Rightarrow \hat{ECB}< 90^0$ συνεπώς το τρίγωνο

EBC