mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 04, 2024 8:40 pm**

: Κατασκευάζεται .png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με :

, φέραμε το ύψος

προς την υποτείνουσα

και την μεσοκάθετο της

, η οποία τέμνει

την

στο σημείο

. Αν :

, υπολογίστε το : $\cos C$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 04, 2024 9:49 pm**

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 04, 2024 8:40 pm Κατασκευάζεται .pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , φέραμε το ύψος

προς την υποτείνουσα και την μεσοκάθετο της , η οποία τέμνει

την στο σημείο . Αν : , υπολογίστε το : $\cos C$ .

$CB = b \cos C$ και $CS= \dfrac {MC}{\cos C} = \dfrac {a}{2\cos C}$ . Άρα η συνθήκη CS=CD

γίνεται

$b \cos C = \dfrac {a}{2\cos C}$ , οπότε $\dfrac {b}{a} = \dfrac {1}{2\cos ^2 C}$ . Έπεται

$\cos C = \dfrac {1}{2\cos ^2 C}$ , οπότε $\boxed {\cos C = \dfrac {1}{\sqrt [3] 2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 05, 2024 7:50 am**

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 04, 2024 8:40 pm Κατασκευάζεται .pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , φέραμε το ύψος

προς την υποτείνουσα και την μεσοκάθετο της , η οποία τέμνει

την στο σημείο . Αν : , υπολογίστε το : $\cos C$ .

Με τους κλασσικούς συμβολισμούς των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και SC = DC = x

έχω :

$DC = x = \dfrac{{{b^2}}}{a}\,\,\,\left( 1 \right)$ ( Θ Ευκλείδη στο $\vartriangle ABC)$ συνεπώς $\cos \theta = \dfrac{{MC}}{x} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{{b^2}}}{a}}} \Rightarrow \boxed{\cos \theta = \dfrac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}}\,\,\,\left( 2 \right)$ . εξ άλλου , $\boxed{\cos \theta = \dfrac{b}{a}}\,\,\,\left( 3 \right)$ .

: κατασκευάζεται.png (7.94 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές

Από τις $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ έχω : $\boxed{\dfrac{{{a^2}}}{{2b}} = \dfrac{b}{a} \Rightarrow 2{b^3} = {a^3} \Rightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}} = \cos \theta }$ . Προφανώς η Γεωμετρική κατασκευή δεν είναι εφικτή.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 05, 2024 8:12 am**

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 04, 2024 8:40 pm Κατασκευάζεται .pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , φέραμε το ύψος

προς την υποτείνουσα και την μεσοκάθετο της , η οποία τέμνει

την στο σημείο . Αν : , υπολογίστε το : $\cos C$ .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ABMS

και το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle ABC$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} xb = \frac{a}{2}a \hfill \\ x = \frac{{{b^2}}}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{{a^2}}}{{2b}} \hfill \\ x = \frac{{{b^2}}}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{2b}} = \dfrac{{{b^2}}}{a} \Rightarrow \boxed{2{b^3} = {a^3}}$ κ. λ. π.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 05, 2024 9:44 am**

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 04, 2024 8:40 pm Κατασκευάζεται .pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , φέραμε το ύψος

προς την υποτείνουσα και την μεσοκάθετο της , η οποία τέμνει

την στο σημείο . Αν : , υπολογίστε το : $\cos C$ .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και SM||AD

είναι:

: Κατασκευάζεται;.png (10.66 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

$\dfrac{{\frac{a}{2} + x}}{b} = \dfrac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{a}{2} + x}} \Leftrightarrow {(a + 2x)^2} = 2ab \Leftrightarrow$ $\boxed{a + 2x = \sqrt {2ab}}$ (1)

$\displaystyle \frac{b}{a} = \cos \theta = \frac{a}{{a + 2x}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{a}{{\sqrt {2ab} }} \Rightarrow$ $\boxed{{a^3} = 2{b^3}}$ και $\boxed{\cos \theta = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}}$

mathematica.gr

Κατασκευάζεται ;

Κατασκευάζεται ;

Re: Κατασκευάζεται ;

Re: Κατασκευάζεται ;

Re: Κατασκευάζεται ;

Re: Κατασκευάζεται ;