mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 23, 2024 9:36 pm**

: Τριγωνολογία.png (11.41 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Το

είναι το ύψος του τριγώνου ABC

και τα σημεία H , G

είναι το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα .

Είναι γνωστό ότι , αν : $AD^2=BD\cdot DC$ , τότε η $\widehat{A}$ είναι ορθή . Δείξτε τώρα ότι αν $AD^2=3\cdot BD\cdot DC$ ,

τότε : $HG \parallel BC$ . Αν δοθούν οι πλευρές b , c

είναι δυνατόν να υπολογισθεί η πλευρά

, ώστε : $HG \parallel BC$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 24, 2024 10:13 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 23, 2024 9:36 pm Τριγωνολογία.pngΤο είναι το ύψος του τριγώνου και τα σημεία είναι το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα .

Είναι γνωστό ότι , αν : $AD^2=BD\cdot DC$ , τότε η $\widehat{A}$ είναι ορθή . Δείξτε τώρα ότι αν $AD^2=3\cdot BD\cdot DC$ ,

τότε : $HG \parallel BC$ . Αν δοθούν οι πλευρές είναι δυνατόν να υπολογισθεί η πλευρά , ώστε : $HG \parallel BC$ ;

Για το πρώτο ερώτημα.

: Τριγωνολογία.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές

Η

τέμνει τον περίκυκλο του ABC

στο

Ως γνωστόν HE=HD.

$\displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot DE = AD \cdot HD \Leftrightarrow \frac{{A{D^2}}}{3} = AD \cdot HD \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{HD}} = 3 = \frac{{AM}}{{GM}}$ και το ζητούμενο έπεται.

Στο δεύτερο ερώτημα η απάντηση είναι ΝΑΙ. $\displaystyle a = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} + \sqrt {9{b^4} + 9{c^4} - 14{b^2}{c^2}} } }}{2}$

Θα γράψω τη λύση αργότερα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 24, 2024 12:44 pm**

Για το δεύτερο ερώτημα.

Από δεύτερο θ. διαμέσων, $\displaystyle {b^2} - {c^2} = 2a(DM) = a(a - 2x) \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{a^2+c^2-b^2}{2a}}$ (1)

: Τριγωνολογία.β.png (9.57 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές

Αλλά, από Π.Θ είναι c^2=x^2+AD^2

και από το πρώτο ερώτημα AD^2=3x(a-x).

Άρα

και από την (1),

$\displaystyle {c^2} = 3a\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}} - \frac{{{{({a^2} + {c^2} - {b^2})}^2}}}{{2{a^2}}},$ όπου μετά τις πράξεις καταλήγω στη διτετράγωνη

εξίσωση $\displaystyle 2{a^4} - ({b^2} + {c^2}){a^2} - {({b^2} - {c^2})^2} = 0$ που δίνει $\boxed{a = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} + \sqrt {9{b^4} + 9{c^4} - 14{b^2}{c^2}} } }}{2}}$

mathematica.gr

Τριγωνολογία

Τριγωνολογία

Re: Τριγωνολογία

Re: Τριγωνολογία