mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2024 2:53 am**

: Αντίλογος.png (5.63 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η

είναι διχοτόμος . Να βρεθεί

ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ , για τον οποίο ελαχιστοποιείται ο λόγος : $\dfrac{BC}{AS}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2024 9:42 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 29, 2024 2:53 am Αντίλογος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διχοτόμος . Να βρεθεί

ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ , για τον οποίο ελαχιστοποιείται ο λόγος : $\dfrac{BC}{AS}$ .

$\displaystyle \frac{{BC}}{{AS}} = \frac{{a(a + c)}}{{bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} + c\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{bc}} = \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \sqrt {\frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} + 1}$

: Αντί-λογος.png (7.1 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές

Θέτω $\boxed{\frac{b}{c} = x}$ και έχω $\boxed{\frac{{BC}}{{AS}} = f(x) = x + \frac{1}{x} + \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}}$

$\displaystyle f'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - 1)\sqrt {{x^2} + 1} = 1 \Leftrightarrow {x^2}({x^4} - {x^2} - 1) = 0$

Άρα η

παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\boxed{x= \frac{b}{c} = \sqrt \phi }$ και είναι $\displaystyle {f_{\min }} = (\phi + 1)\sqrt \phi$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2024 11:25 am**

$\displaystyle {f_{\min }} = (\phi + 1)\sqrt \phi ={\phi^\frac{5}{2} }$ ...

mathematica.gr

Αντί - λογος

Αντί - λογος

Re: Αντί - λογος

Re: Αντί - λογος