mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 30, 2024 7:50 pm**

: Πρό - λογος.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

Στις πλευρές του - πλευράς

- ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημεία S , P , T

αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : AS=BP =CT = d

. Υπολογίστε το

, ώστε : $\dfrac{(SPT)}{(ABC)}=\dfrac{2}{3}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 31, 2024 8:06 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 30, 2024 7:50 pm Πρό - λογος.pngΣτις πλευρές του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : . Υπολογίστε το , ώστε : $\dfrac{(SPT)}{(ABC)}=\dfrac{2}{3}$ .

Προφανώς το SPT

είναι επίσης ισόπλευρο και από τη σχέση των εμβαδών είναι $\displaystyle \frac{{P{T^2}}}{{{a^2}}} = \frac{2}{3}.$

: Πρό-λογος.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές

Αλλά στο τρίγωνο PTC

είναι $\displaystyle \frac{{2{a^2}}}{3} = P{T^2} = {d^2} + {(a - d)^2} - d(a - d)\mathop \Leftrightarrow \limits^{d < a}$ $\boxed{ d = \frac{a}{6}\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}$

(Εμπλέκεται και ο $\displaystyle \phi$ αν θέλουμε). $\displaystyle d = \frac{a}{{3{\phi ^2}}} = \frac{a}{3}{(\phi - 1)^2}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 31, 2024 11:45 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 30, 2024 7:50 pm Πρό - λογος.pngΣτις πλευρές του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : . Υπολογίστε το , ώστε : $\dfrac{(SPT)}{(ABC)}=\dfrac{2}{3}$ .

$SP=x,IS\perp BC,SI\perp PT,BSP=SAT=PCT=E_{0}$

Προφανώς τα τρίγωνα SBP,PTC,AST

είναι ίσα και $\hat{BSP}=\omega =\hat{ISJ}$ ,Καθετότητα πλευρών .

Ειναι $BSI=\omega +30-\omega =30,BI=\dfrac{a-d}{2},SI=\dfrac{a-d}{2}\sqrt{3}$

$E_{0}=\dfrac{d(a-d)\sqrt{3}}{4}, 3x^{2}=2a^{2}, 3E_{0}+\dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}} {4} ,9d^{2}-9ad+a^{2}=0\Rightarrow d=a.\dfrac{3-\sqrt{5}}{6},d=a.\dfrac{3+\sqrt{5}}{6}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 31, 2024 10:35 pm**

Καλό βράδυ!
Από τον δοσμένο λόγο και την ισότητα των τριών ..λευκών τριγώνων προκύπτει $\dfrac{(ABC)}{(SAT)}=9$ δηλ $AB \cdot AC=9AS \cdot AT$

ή a^2=9d(a-d)

με τις ρίζες που έδωσε πριν κι' ο Γιάννης .

Αν το σχήμα μας δεσμεύει ότι d<a/2

, τότε κρατάμε την μικρότερη..

Φιλικά, Γιώργος

mathematica.gr

Πρό-λογος

Πρό-λογος

Re: Πρό-λογος

Re: Πρό-λογος

Re: Πρό-λογος