mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 30, 2024 9:49 pm**

: Διπλή ισότητα.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

Στο ισόπλευρο τρίγωνο ABC

, έστω σημείο

της

και σημείο

στην προέκταση της

.

Είναι απλό να δείξουμε την ισχύ της ισοδυναμίας : $SB=ST\Leftrightarrow AS=CT$ . Μπορούμε όμως

να εντοπίσουμε τις θέσεις των S , T

, ώστε επιπλέον η

να είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{ATC}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 01, 2024 8:52 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 30, 2024 9:49 pm Διπλή ισότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο , έστω σημείο της και σημείο στην προέκταση της .

Είναι απλό να δείξουμε την ισχύ της ισοδυναμίας : $SB=ST\Leftrightarrow AS=CT$ . Μπορούμε όμως

να εντοπίσουμε τις θέσεις των , ώστε επιπλέον η να είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{ATC}$ ;

Εντοπίζεται αλλά δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. Με τους συμβολισμούς του σχήματος και $\rm Stewart$ στο ABT

είναι:

: Διπλή ισότητα.Κ.png (13.09 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

$\displaystyle {a^2}x + a{y^2} = {a^2}(a + x) + ax(a + x) \Leftrightarrow {y^2} = {x^2} + ax + {a^2}$

Θεώρημα διχοτόμου στο ACT,

$\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{{(a - x)}^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^4} = {(a - x)^2}\frac{{{a^3} - {x^3}}}{{a - x}} \Leftrightarrow$

$\boxed{x^3+a^2x-a^3=0}$ απ' όπου $\boxed{x\simeq 0,68233a}$

H ακριβής τιμή είναι $\displaystyle x = \left( {\sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {93} + 9}}{{18}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {93} - 9}}{{18}}}}} \right)a$

mathematica.gr

Διπλή ισότητα

Διπλή ισότητα

Re: Διπλή ισότητα