mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 12, 2025 3:26 pm**

: proodos.png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 1364 φορές

Η κάθετη πλευρά

, η διάμεσος

και η υποτείνουσα

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

,

είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου . Βρείτε τον λόγο $\lambda$ , αυτής της προόδου .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 12, 2025 5:28 pm**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 12, 2025 3:26 pm proodos.pngΗ κάθετη πλευρά , η διάμεσος και η υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου ,

είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου . Βρείτε τον λόγο $\lambda$ , αυτής της προόδου .

$\displaystyle B{M^2} = ac \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{4} + {c^2} = ac \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {c^2}}}{4} + {c^2} = ac \Leftrightarrow {a^2} - 4ac + 3{c^2} = 0$

Αλλά, $\displaystyle \frac{a}{c} = {\lambda ^2} > 1.$ Άρα, $\displaystyle {\lambda ^4} - 4{\lambda ^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\lambda= \sqrt 3}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 12, 2025 5:43 pm**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 12, 2025 3:26 pm Η κάθετη πλευρά , η διάμεσος και η υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου ,

είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου . Βρείτε τον λόγο $\lambda$ , αυτής της προόδου .

H υπόθεση γράφεται $AB=c, \, BM=cl, \, BC=cl^2$ . Επίσης, από το θεώρημα διαμέσων και το Πυθαγόρειο είναι

$AB^2+ BC^2 = 2BM^2+ \dfrac {1}{2} AC^2= 2BM^2+ \dfrac {1}{2} [BC^2-AB^2]$ ισοδύναμα

3AB^2+ BC^2 = 4BM^2

, που σημαίνει

3c^2+(cl^2)^2= 4(cl)^2

, δηλαδή

.

Άρα $l= \pm \sqrt {3}$ ή $l=\pm 1$ . Κρατάμε μόνο την $l=\sqrt 3$ γιατί θέλουμε αύξουσα πρόοδο.

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος. Το αφήνω για τον κόπο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 13, 2025 12:50 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 12, 2025 3:26 pm proodos.pngΗ κάθετη πλευρά , η διάμεσος και η υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου ,

είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου . Βρείτε τον λόγο $\lambda$ , αυτής της προόδου .