mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 03, 2025 12:00 pm**

: Επίλυση τριγώνου.png (6.52 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

Βρείτε τις πλευρές c, b , a

, τριγώνου ABC

, αν είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου και : $E=126 , \tan\hat{A}=-\dfrac{3}{4}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 03, 2025 4:29 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 03, 2025 12:00 pm Επίλυση τριγώνου.pngΒρείτε τις πλευρές , τριγώνου , αν είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου και : $E=126 , \tan\hat{A}=-\dfrac{3}{4}$ .

Oι πλευρές είναι της μορφής $c=b-t, \, b, \, a=b+t$ . Η (αμβλεία) γωνία

έχει $\cos A =- \dfrac {1}{ \sqrt {\tan ^2+1}} = - \dfrac {1}{ \sqrt {\frac {9}{16}+1}} = \dfrac {4}{5}$ και άρα $\sin A = \dfrac {3}{5}$ .

Από τον Νόμο του Συνημιτόνου $(b+t)^6= (b-t)^2-b^2-2b(b-t) \cos A$ , που με τις απλοποιήσεις γίνεται 28t=13b

.

Aπό τον τύπο του εμβαδού $E=\frac {1}{2} bc \sin A$ παίρνουμε $126 =\frac {1}{2} b(b-t) \cdot \dfrac {3}{5}$

Λύνοντας το σύστημα που προέκυψε ως προς b,t

θα βρούμε

. Άρα οι πλευρές του τριγώνου είναι

$\boxed {c=28-13=15, \, b=28, \, a= b+t=41}$ .

Αν θέλουμε και τις γωνίες, έπεται (π.χ. από τον Νόμο του Συνημιτόνου) ότι $\cos B = \dfrac {374}{410}$ ή $Β\approx 24,19^o$ , και $\cos C = \dfrac {40}{41}$ ή $C\approx 12,68^o$ . Και από την αρχική $A\approx 143,13$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 04, 2025 11:57 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 03, 2025 12:00 pm Επίλυση τριγώνου.pngΒρείτε τις πλευρές , τριγώνου , αν είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου και : $E=126 , \tan\hat{A}=-\dfrac{3}{4}$ .

Οι πλευρές του τριγώνου είναι c=b-w,b, b+w

και $\displaystyle (ABC) = \tau \cdot r \Leftrightarrow 126 = \frac{{3br}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{br=84}$ (1)

Εξάλλου, $\displaystyle \tan A = - \frac{3}{4} \Rightarrow \tan \frac{A}{2} = 3$ και $\displaystyle \cos A = \frac{4}{5}.$ Είναι ακόμα, $\displaystyle BD = BE = \tau - b = \frac{b}{2}$

: Επίλυση τριγώνου.Κ.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

$\displaystyle \tan \frac{A}{2} = \frac{r}{{AE}} = \frac{r}{{\frac{b}{2} - w}} \Leftrightarrow 3 = \frac{{2r}}{{b - 2w}} \Leftrightarrow 2r = 3b - 6w$ και από την (1),

$\displaystyle w = \frac{{{b^2} - 56}}{{2b}},$ απ' όπου $\displaystyle c = \frac{{{b^2} + 56}}{{2b}},a = \frac{{3{b^2} - 56}}{{2b}}.$

Με νόμο συνημιτόνου τώρα στο αρχικό τρίγωνο $\boxed{b=28}$ οπότε w=13

και $\boxed{c=15, a=41}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 05, 2025 9:04 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 03, 2025 12:00 pm Επίλυση τριγώνου.pngΒρείτε τις πλευρές , τριγώνου , αν είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου και : $E=126 , \tan\hat{A}=-\dfrac{3}{4}$ .

Εύκολα έχω , $\boxed{\cos \omega = - \frac{4}{5}}$ $\left( 1 \right)$ . Με τους συμβολισμούς του σχήματος και αν θεωρήσω με k > 0

την διαφορά της αριθ. προόδου είναι:

$a = 10m + k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 10m - k$ Από θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω , $\boxed{{{\left( {10m + k} \right)}^2} = 100{m^2} + {{\left( {10m - k} \right)}^2} - 2 \cdot 10m\left( {10m - k} \right)\left( { - \frac{4}{5}} \right)}$

Η πιο πάνω σχέση δίδει μετά τις πράξεις, $4m\left( {65m - 4k} \right) = 0 \Rightarrow \boxed{65m - 14k = 0}\,\,\,\left( 2 \right)$

: Επίλυση τριγώνου.png (13.4 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Από την άλλη μεριά η περίμετρος του $\vartriangle ABC$ είναι , $2s = 30m \Rightarrow s = 15m$ και από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει :

$\boxed{\boxed{25{k^2}{m^2} - 625{m^4} + 5292 = 0}}$ $\left( 3 \right)$ Από το σύστημα των $\left( 2 \right)$ και $\left( 3 \right)$ προκύπτουν : $\boxed{k = 13\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = \frac{{14}}{5}}$ , το αντίθετο ζεύγος ( απορρίπτεται)

Και δυο μιγαδικές. Τα υπόλοιπα απλά .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 05, 2025 6:59 pm**

Προεκτείνουμε τις πλευρές

κατά ίσο τμήμα

και την $B\Gamma$ κατά $\Gamma S=\Gamma A$ και φέρνουμε το ύψος προς την

. Θεωρώ $AZ=4, Z\Gamma=3$ και $\Gamma A=5.$
Αν BA=x

τότε $B\Gamma=2x-5$ και με Πυθαγόρειο στο $\Gamma BZ$ βρίσκουμε ότι $x=\frac{28}{3}$ . Όμως το εμβαδόν του τριγώνου που κατασκευάσαμε ισούται με $\frac{AB\cdot \Gamma Z}{2}=14=\frac{126}{9}$ . Άρα η ζητούμενη τιμή του

είναι