mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 09, 2025 10:39 am**

Α) Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(\theta)=2\cos\theta-2\cos2\theta-1$ .

: Σαδιστική μεγιστοποίηση.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

Β) Προεκτείνουμε την βάση

του ισοσκελούς τριγώνου ABC

κατά τμήμα

, έτσι

ώστε : BD=AB=AC=b

. Υπολογίστε το μέγιστο της διαφοράς : AD-CD

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 10, 2025 2:10 pm**

A.

$f(\theta)=2\cos\theta-2\cos2\theta-1=2cos\theta-2(2cos^2\theta-1)-1=-4cos^2\theta+2cos\theta+1=$

$=\dfrac{5}{4}-\left(2cos\theta-\dfrac{1}{2}\right)^2$ .

Το ελάχιστο της

προκύπτει όταν $cos\theta =-1$ και είναι ίσο με

.

Το μέγιστο της

προκύπτει όταν $cos\theta =\dfrac{1}{4}$ και είναι ίσο με $\dfrac{5}{4}$ .

B.

Οι γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ABC

είναι ίσες με $180^o-2\theta$ και έτσι η βάση

θα είναι ίση με $-2bcos2\theta$ .

Οι γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ABD

είναι ίσες με $\theta$ και έτσι η βάση

θα είναι ίση με $2bcos\theta$ .

Άρα $AD-CD=AD-(BD-BC)=2bcos\theta-b-2b cos2\theta=bf(\theta)$ , με $\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ , αφού $-2bcos2\theta>0$

Από το Α. η μέγιστη τιμή αυτής της διαφοράς θα είναι $\boxed{\dfrac{5}{4}\cdot b}$ ,

εφόσον στο διάστημα $\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ υπάρχει γωνία $\theta$ τέτοια ώστε $cos\theta = \dfrac{1}{4}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 10, 2025 6:49 pm**

Και αναφύεται το ερώτημα : Υπάρχει ρεαλιστική περίπτωση να φτάσουμε αυτή τη διαφορά ;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 10, 2025 7:46 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 10, 2025 6:49 pm Και αναφύεται το ερώτημα : Υπάρχει ρεαλιστική περίπτωση να φτάσουμε αυτή τη διαφορά ;

Θανάση... την πάτησα!

Το παράδοξο: Δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο!

Γιατί;

Υπάρχουν περιορισμοί στη γωνία που μου διέφυγαν: $BC\leq b$ , ο οποίος, αν δεν κάνω λάθος, περιορίζει τη γωνία $\theta$ στο διάστημα $\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}\right]$ , όπου μπορούμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα.

Συνεπώς, με την υπόθεση μιας μεταβαλλόμενης βάσης

,

το μέγιστο της διαφοράς θα είναι το $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=b$ , δηλαδή όταν το

συμπίπτει με το

και το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο

mathematica.gr

Σαδιστική μεγιστοποίηση

Σαδιστική μεγιστοποίηση

Re: Σαδιστική μεγιστοποίηση

Re: Σαδιστική μεγιστοποίηση

Re: Σαδιστική μεγιστοποίηση