mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 15, 2025 5:13 pm**

: Νταμπλ σκορ.png (8.42 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου AB=2r

ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα

. Βρείτε εκείνη την θέση του

, για την οποία προκύπτει : ST=2AT

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 15, 2025 7:32 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 15, 2025 5:13 pm Νταμπλ σκορ.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα . Βρείτε εκείνη την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

Ας είναι

η ακτίνα του ημικυκλίου.

: Ντάμπλ σκόρ.png (14.68 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

Σε σημείο

του

με $DB = R\dfrac{{17 - \sqrt {33} }}{{16}}$ φέρνω κάθετη στην

που τέμνει το ημικύκλιο στο

.

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

τέμνει την ευθεία

στο

, που ζητείται.

Ανάλυση

Έστω

η προβολή του

στην

. Η τετράδα $\left( {A,B\backslash D,S} \right)$ είναι αρμονική . Αν

η ακτίνα του ημικυκλίου και DB = m

έχω :

$\dfrac{{DB}}{{DA}} = \dfrac{{SB}}{{SA}} \Rightarrow \dfrac{m}{{2R - m}} = \dfrac{x}{{2R + x}} \Rightarrow x = \dfrac{{mR}}{{R - m}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Από το $\vartriangle TAB$ έχω: $T{A^2} = AD \cdot AB\,\,\left( 2 \right)$ και από τη δύναμη του

ως προς το ημικύκλιο , $T{S^2} = SB \cdot SA\,\,\left( 3 \right)$ . Οι $\left( 2 \right)\,\,,\,\left( 3 \right)$ γράφονται:

: Ντάμπλ σκόρ_ok.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές

$\left\{ \begin{gathered} T{A^2} = \left( {2R - m} \right)2R \hfill \\ T{S^2} = x\left( {x + 2R} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Επειδή δε $TS = 2TA \Rightarrow T{S^2} = 4T{A^2}$ οπότε διαιρώ κατά μέλη κι έχω : $x\left( {x + 2R} \right) = 4\left( {2R - m} \right)2R\,\,\,\left( 4 \right)$ .

Από το σύστημα των $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right)$ προκύπτει : $R\left( {m - 2R} \right)\left( {8{m^2} - 17mR + 8{R^2}} \right) = 0$ . Μόνο η μικρή ρίζα του τριωνύμου δεκτή .

$m = R\dfrac{{17 - \sqrt {33} }}{{16}}$ ( Αν αντικαταστήσω στην $\left( 1 \right)$ έχω και το $x = R\dfrac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}$ )

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 16, 2025 8:30 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 15, 2025 5:13 pm Νταμπλ σκορ.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα . Βρείτε εκείνη την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

Από την ομοιότητα των τριγώνων ATS, BTS

είναι $\displaystyle \frac{{x + 2r}}{{2y}} = \frac{{2y}}{x} = \frac{y}{{TB}},$

απ' όπου $TB=\dfrac{x}{2}$ και 4y^2=x^2+2rx

: Double score.png (13.48 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές

Αλλά, $\displaystyle T{B^2} = 4{r^2} - {y^2} \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} = 4{r^2} - \frac{{{x^2} + 2rx}}{4} \Leftrightarrow {x^2} + rx - 8{r^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {33} - 1} \right)}$

mathematica.gr

Νταμπλ σκορ

Νταμπλ σκορ

Re: Νταμπλ σκορ

Re: Νταμπλ σκορ