mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 10, 2025 7:58 pm**

: Όσο περισσότερα μπορείτε.png (2.19 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με ακέραιες πλευρές , το εμβαδόν του είναι ( αριθμητικά )

διπλάσιο της περιμέτρου του . Βρείτε όσα περισσότερα τέτοια τρίγωνα μπορείτε !

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 10, 2025 9:07 pm**

Είναι γνωστό ότι οι πυθαγόρειες τριάδες είναι της μορφής: (a, b, c) = (m^2 + n^2, 2mn, m^2 - n^2)

όπου $m,n \in \mathbb{Z}^+, m>n$ . Άρα σύμφωνα με τις υποθέσεις του προβλήματος είναι:

$\frac{bc}{2} = 2(a + b + c)$ και $b^2 + c^2 = a^2 \Rightarrow mn(m^2 - n^2) = 2(m^2 - n^2 + m^2 + n^2 + 2mn) \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow mn(m^2 - n^2) = 4(m^2 + mn) \Leftrightarrow n(m+n)(m-n) = 4(m+n) \Leftrightarrow n(m-n) = 4$

και αφού $m,n \in \mathbb{Z}^+$ οι n, m-n

είναι διαιρέτες του

, άρα διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) $n=4, m - n = 1 \Rightarrow n = 4, m = 5$ και (a, b, c) = (41, 40, 9)

2) $n=2, m-n = 2 \Rightarrow n = 2, m = 4$ και (a, b, c) = (20, 16, 12)

3) $n=1, m-n = 4 \Rightarrow n = 1, m - n = 5$ και (a, b, c) = (26, 24, 10)

Εύκολα βλέπουμε ότι και οι τρεις τριάδες ικανοποιούν τα ζητούμενα του προβλήματος.
Κωνσταντίνος

mathematica.gr

Όσα περισσότερα μπορείτε

Όσα περισσότερα μπορείτε

Re: Όσα περισσότερα μπορείτε