mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 7:56 am**

: Υποτείνουσα από εμβαδόν.png (7.12 KiB) Προβλήθηκε 2045 φορές

Αν

, υπολογίστε την

. Αν σας έδινα την

πως θα κατασκευάζατε το σχήμα ;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 9:01 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 7:56 am Υποτείνουσα από εμβαδόν.pngΑν , υπολογίστε την . Αν σας έδινα την πως θα κατασκευάζατε το σχήμα ;

Με τις συντεταγμένες που φαίνονται στο σχήμα, ισχύουν οι σχέσεις $\boxed{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0}$ και $\boxed{(ABC)=15}$

: Υποτείνουσα από εμβαδόν.png (12.19 KiB) Προβλήθηκε 2036 φορές

Από την πρώτη παίρνω $\boxed{bc-2b-2c=5}$ και από τη δεύτερη $\displaystyle |\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {c - 2}&{ - 3} \\ {b - 2}&3 \end{array}} \right|| = 30 \Leftrightarrow$ $\boxed{b+c=14}$

Λύνοντας το σύστημα βρίσκω c=3, b=11

ή

Σε κάθε περίπτωση είναι $\boxed{BC=10}$

Δεν είμαι σίγουρος ότι καταλαβαίνω το δεύτερο ερώτημα. Το βέβαιο είναι ότι δίνεται το

$\displaystyle \bullet$ Δίνεται το εμβαδόν και ζητείται η κατασκευή, δηλαδή το

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 9:12 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 7:56 am Υποτείνουσα από εμβαδόν.pngΑν , υπολογίστε την . Αν σας έδινα την πως θα κατασκευάζατε το σχήμα ;

Επειδή το

είναι στην μεσοπαράλληλη των δύο ευθειών που δίνει το σχήμα, είναι ευκολότερο να κάνουμε μεταφορά αξόνων και να θεωρήσουμε το

ως την αρχή του συστήματος αναφοράς. Π.χ. οι δοθείσες ευθείες είναι τώρα συμμετρικές, και συγκεκριμένα οι $y=\pm 3$ . Με αυτά γλιτώνουμε κάποιες πράξεις και οι εξισώσεις γίνονται ευκολότερες. Πάραυτα θα κάνω την λύση με το δοθέν σχήμα.

Είναι $B(b, 4), \, C(c-2)$ . H συνθήκη καθετότητας $AB \perp AC$ μετά από τις απλοποιήσεις γίνεται (b-2)(c-2)=9

. Η συνθήκη του εμβαδού $\frac {1}{2} AB\cdot AC=15$ γίνεται ((b-2)^2+9)((c-2)^2+9)=900

. Λύνοντας το σύστημα (γλιτώνουμε πράξεις αν θέσουμε B=b-2, C=c-2

) βα βρούμε λύσεις

(b,c)= (11,3)

ή

ή

ή

(είναι συμμετρικές, αλλά πιο ορατές αν κάνουμε μεταφορά αξόνων).

Σε όλες τις περιπτώσεις είναι $\boxed {BC=10}$ .

Αν μας έδιναν την

, η ουσία δεν αλλάζει. Απλά η συνθήκη του εμβαδού θα ήταν συνθήκη υποτείνουσας, εδώ AB^2+AC^2=

δοθέν. Αφού βρούμε τα b,c

, η κατασκευή είναι άμεση.

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα. Το αφήνω.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 3:53 pm**

: Σημείο και τμήμα.png (9.04 KiB) Προβλήθηκε 1999 φορές

Το αντίστροφο είναι να κατασκευαστεί το τρίγωνο ABC

, αν δίνονται δύο οι παράλληλες ,

το

και η υποτείνουσα BC=a

, ( το

μεγαλύτερο από την απόσταση των παραλλήλων ) .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 5:05 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 7:56 am Υποτείνουσα από εμβαδόν.pngΑν , υπολογίστε την . Αν σας έδινα την πως θα κατασκευάζατε το σχήμα ;

: Υποτείνουσα απο εμβαδόν.png (30.23 KiB) Προβλήθηκε 1980 φορές

.
Αν γράψω τον κύκλο , $\left( {A,B,C} \right)$ και τμήσει την ευθεία , y = 1

( μεσοπαράλληλη ) ακόμα στο

,θα είναι :

$\vartriangle BAC = \vartriangle ABC$ άρα και ισοδύναμα . Οπότε κι αφού BT = 4 - 1 = 3

και $3 \cdot 5 = 15 = \left( {ABC} \right) = \left( {BAS} \right)$ αναγκαστικά

$\boxed{AS = BC = 10}$

Στην περίπτωση του αντιστρόφου ( τώρα το διαβάζω) θα εργαστούμε όπως πιο πάνω .

Δεν θα είναι βεβαίως το

πάνω στην μεσοπαράλληλη των δεδομένων παραλλήλων

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 5:35 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 3:53 pm Σημείο και τμήμα.pngΤο αντίστροφο είναι να κατασκευαστεί το τρίγωνο , αν δίνονται δύο οι παράλληλες ,

το και η υποτείνουσα , ( το μεγαλύτερο από την απόσταση των παραλλήλων ) .

Και εγώ, όπως ο Γιώργος στο ποστ #2, είχα μία αμφιβολία για το ποιο ακριβώς είναι το ζητούμενο. Τελικά χρησιμοποίησα αυτό που διευκρινίζει ο θεματοθέτης Θανάσης. Είναι στο σημείο που γράφω AB^2+AC^2=

δοθέν.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 6:03 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 3:53 pm Σημείο και τμήμα.pngΤο αντίστροφο είναι να κατασκευαστεί το τρίγωνο , αν δίνονται δύο οι παράλληλες ,

το και η υποτείνουσα , ( το μεγαλύτερο από την απόσταση των παραλλήλων ) .