mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 6:46 pm**

: Ισοσκελές τραπέζιο.png (12.69 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

$\bigstar$ Σε δοθέντα κύκλο περιγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις AB , CD

.

Δείξτε ότι το γινόμενο : $AB \cdot CD$ , είναι σταθερό .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 16, 2025 7:45 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 6:46 pm Σε δοθέντα κύκλο περιγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις .
Δείξτε ότι το γινόμενο : $AB \cdot CD$ , είναι σταθερό .

Από το κέντρο του κύκλου

φέρνω τις

ακτίνες στα εφαπτόμενα σημεία.
Τα τμήματα εκατέρωθεν των κορυφών του τραπεζίου έως τα σημεία επαφής με τον κύκλο είναι ίσα.
Έχω

όμοια εγγράψιμα τετράπλευρα (λόγω αντικριστών ορθών γωνιών), και ανά δύο ίσα.

Θέτω ακτίνα κύκλου =

και έχω
$\displaystyle{\frac{a}{r} = \frac{r}{A} \Leftrightarrow a \cdot A = r^2 \Leftrightarrow 2\cdot a \cdot 2 \cdot A = 4r^2 \Leftrightarrow}$

$\boxed{AB \cdot CD = 4r^2}$

: statherogino.png (25.95 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

edit: Διόρθωση αποτελέσματος χορηγία του KARKAR

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 17, 2025 8:46 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 6:46 pm Ισοσκελές τραπέζιο.png $\bigstar$ Σε δοθέντα κύκλο περιγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις .

Δείξτε ότι το γινόμενο : $AB \cdot CD$ , είναι σταθερό .

Θέτω

οπότε

Υπολογίζοντας το

με Πυθαγόρειο έχω:

: Σταθερό γινόμενο.KARKAR.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

$\displaystyle 4{r^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ab=4r^2}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 17, 2025 8:56 am**

: Άλλη εκδοχή.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 933 φορές

Δημοφιλέστερη εκδοχή της άσκησης : Να δειχθεί ότι το γινόμενο : $AD\cdot BC$ είναι σταθερό .

Πράγματι : $AD\cdot BC=DS\cdot SC=OS^2=r^2$ ( από το ορθογώνιο OCD

) .

mathematica.gr

Σταθερό γινόμενο

Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο