mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 24, 2025 12:00 am**

Οι πραγματικοί αριθμοί

και

ικανοποιούν τη σχέση $x^2 + y^2 \le 2$ . Να αποδείξετε ότι $xy + 3 \ge 2x + 2y$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 24, 2025 7:02 pm**

socrates έγραψε: Δευ Μαρ 24, 2025 12:00 am Οι πραγματικοί αριθμοί και ικανοποιούν τη σχέση $x^2 + y^2 \le 2$ . Να αποδείξετε ότι $xy + 3 \ge 2x + 2y$

Είναι $\displaystyle x^2+y^2\leq 2 \iff 2xy\geq (x+y)^2-2\iff xy+3\geq \frac{(x+y)^2}{2}+2$ .

Αλλά για $t\in \mathbb R$ ισχύει $(t-2)^2\geq 0 \iff \displaystyle \frac{t^2}{2}+2\geq 2t$ ,

οπότε για t=x+y

πάνω προκύπτει $xy + 3 \geq 2(x + y)$ , όπως θέλαμε.

mathematica.gr

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα