mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 30, 2025 3:49 pm**

: Αντίστροφη ισότητα .png (20.58 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Από σημείο

, εξωτερικό κύκλου (O)

, φέρω την "νότια" τέμνουσα SAB

και το "βόρειο" εφαπτόμενο

τμήμα

. Η χορδή

είναι παράλληλη στην ευθεία

, την οποία οι χορδές PB , PA

, τέμνουν

στα σημεία L , N

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : OL=ON

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 31, 2025 8:54 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Μαρ 30, 2025 3:49 pm Αντίστροφη ισότητα .pngΑπό σημείο , εξωτερικό κύκλου , φέρω την "νότια" τέμνουσα και το "βόρειο" εφαπτόμενο

τμήμα . Η χορδή είναι παράλληλη στην ευθεία , την οποία οι χορδές , τέμνουν

στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι : .

Η

επανατέμνει τον κύκλο στο

Λόγω της παραλληλίας αλλά και της σχέσης γωνίας

χορδής-εφαπτομένης και εγγεγραμμένης, προκύπτει ότι όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.

: Αντίστροφη ισότητα.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Άρα το

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle N\widehat SA = N\widehat TA = D\widehat BA \Leftrightarrow LS//BD.$ Τότε όμως το BDTP

είναι

ισοσκελές τραπέζιο και η μεσοκάθετος

των βάσεων θα διέρχεται από το κέντρο

του κύκλου, άρα $\boxed{OL=ON}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 31, 2025 9:01 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Μαρ 30, 2025 3:49 pm Αντίστροφη ισότητα .pngΑπό σημείο , εξωτερικό κύκλου , φέρω την "νότια" τέμνουσα και το "βόρειο" εφαπτόμενο

τμήμα . Η χορδή είναι παράλληλη στην ευθεία , την οποία οι χορδές , τέμνουν

στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι : .

Έστω ότι

, άρα θα υπάρχει σημείο ${L_1}$ εσωτερικό του

με , ${L_1}O = ON$ $\left( 1 \right)$ . Αν τώρα

το συμμετρικό

του

ως προς την ευθεία της διαμέτρου

τότε το

είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα προς το κύκλο $\Omega$ .

: Αντίστροφη ισότητα_Ατοπο.png (36.6 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Επειδή $\widehat {PTJ} = 90^\circ$ το

είναι το αντιδιαμετρικό του

σταθερό , καθώς και το

.

Αν η ημιευθεία $P{L_1}$ τέμνει τον $\Omega$ στο ${B_1}$ τότε η $A{B_1}$ διέρχεται από το

, άτοπο γιατί 2 σημεία ορίζουν μια και μόνο ευθεία .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 31, 2025 9:40 am**

george visvikis έγραψε: Δευ Μαρ 31, 2025 8:54 am
KARKAR έγραψε: Κυρ Μαρ 30, 2025 3:49 pm Αντίστροφη ισότητα .pngΑπό σημείο , εξωτερικό κύκλου , φέρω την "νότια" τέμνουσα και το "βόρειο" εφαπτόμενο

τμήμα . Η χορδή είναι παράλληλη στην ευθεία , την οποία οι χορδές , τέμνουν

στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι : .
Η επανατέμνει τον κύκλο στο Λόγω της παραλληλίας αλλά και της σχέσης γωνίας

χορδής-εφαπτομένης και εγγεγραμμένης, προκύπτει ότι όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες. Αντίστροφη ισότητα.png
Άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle N\widehat SA = N\widehat TA = D\widehat BA \Leftrightarrow LS//BD.$ Τότε όμως το είναι

ισοσκελές τραπέζιο και η μεσοκάθετος των βάσεων θα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, άρα $\boxed{OL=ON}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 31, 2025 9:56 am**

Η αλήθεια είναι ότι η δική μου σκέψη ήταν όμοια με αυτή του Νίκου ( προδίδεται κάπως από τον τίτλο ! ) .

Ο Γιώργος μας έδωσε μια ευθεία και πανέμορφη λύση

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 01, 2025 1:07 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Μαρ 30, 2025 3:49 pm Αντίστροφη ισότητα .pngΑπό σημείο , εξωτερικό κύκλου , φέρω την "νότια" τέμνουσα και το "βόρειο" εφαπτόμενο

τμήμα . Η χορδή είναι παράλληλη στην ευθεία , την οποία οι χορδές , τέμνουν

στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι : .