mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 30, 2025 4:12 pm**

LXXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
29 Μαρτίου 2025 $\cdot$ 11η τάξη, 2η μέρα

Πρόβλημα 1. Μεταξύ των δυο οκτώ στον αριθμό

γράφτηκαν μερικά μηδενικά. Να αποδείξετε ότι πάντα μπορούμε να γράψουμε αριστερά του νέου αριθμού μερικά ψηφία έτσι, ώστε να προκύψει αριθμός, ο οποίος είναι τέλειος κύβος.

Πρόβλημα 2. Ένα κομμάτι τυρί μάζας ενός κιλού κόπηκε σε $n \geq 4$ κομμάτια μάζας μικρότερης των 600

γραμμαρίων. Προέκυψε ότι αυτά δεν μπορούμε να τα διαχωρίσουμε σε δυο σωρούς έτσι, ώστε η μάζα κάθε σωρού να είναι τουλάχιστον 400

γραμμάρια, αλλά όχι περισσότερα από 600

γραμμάρια (ο σωρός μπορεί να αποτελείται και από ένα κομμάτι). Να αποδείξετε ότι θα βρεθούν τρία τέτοια κομμάτια, ώστε η συνολική μάζα οποιονδήποτε δυο εξ αυτών να είναι μεγαλύτερη των 600

γραμμαρίων.

Πρόβλημα 3. Έστω

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου ABC

. Στην πλευρά

σημειώθηκε σημείο

. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων BOD

και

, τέμνουν για δεύτερη φορά τα τμήματα

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι από τα τμήματα BX, XY

και

μπορεί να κατασκευασθεί τρίγωνο.

Πρόβλημα 4. Θα ονομάσουμε το υποσύνολο

ενός επιπέδου ευθειοφανή, αν για κάποια ευθεία

του ίδιου επιπέδου θα βρεθεί τέτοια ένα προς ένα και επί απεικόνιση $f: l \to A$ , ώστε για οποιαδήποτε δυο σημεία X,Y

της ευθείας

το μήκος του τμήματος

να διαφέρει από το μήκος του τμήματος f(X)f(Y)

, το πολύ κατά

. Αληθεύει άραγε ότι οποιοδήποτε ευθειοφανή υποσύνολο του επιπέδου βρίσκεται μεταξύ δυο κάποιων παράλληλων ευθειών;

Πρόβλημα 5. Ένας μάγος και ο βοηθός του ετοιμάζονται να παρουσιάσουν το ακόλουθο κόλπο. Ο βοηθός κλείνει τα μάτια του μάγου με ένα μανδύα και προσκαλεί στην σκηνή ένα τυχαίο θεατή και του ζητάει να γράψει μια ακολουθία από μηδενικά και άσσους μήκους $2^{2025}$ . Ύστερα ο βοηθός λέγοντας αλήθεια αναφωνεί τον αριθμό και την τιμή κάποιου ενός όρου της ακολουθίας. Ο μάγος πρέπει να μαντέψει άλλους 2025

όρους της ακολουθίας (δηλαδή να υποδείξει τον αριθμό τους και την τιμή τους). Να αποδείξετε ότι μπορούν εκ των προτέρων να συνεννοηθούν μεταξύ τους έτσι, ώστε το κόλπο να είναι πετυχημένο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 31, 2025 12:49 pm**

Πρόβλημα 5. Ένας μάγος και ο βοηθός του ετοιμάζονται να παρουσιάσουν το ακόλουθο κόλπο. Ο βοηθός κλείνει τα μάτια του μάγου με ένα μανδύα και προσκαλεί στην σκηνή ένα τυχαίο θεατή και του ζητάει να γράψει μια ακολουθία από μηδενικά και άσσους μήκους 2^{2025}. Ύστερα ο βοηθός λέγοντας αλήθεια αναφωνεί τον αριθμό και την τιμή κάποιου ενός όρου της ακολουθίας. Ο μάγος πρέπει να μαντέψει άλλους 2025 όρους της ακολουθίας (δηλαδή να υποδείξει τον αριθμό τους και την τιμή τους). Να αποδείξετε ότι μπορούν εκ των προτέρων να συνεννοηθούν μεταξύ τους έτσι, ώστε το κόλπο να είναι πετυχημένο.

Μπορεί να αναφωνήσει τον αριθμό και την τιμή με αυτή τη σειρά ή μπορεί να αναφωνήσει πρώτα την τιμή και μετά τον αριθμό αν το επιθυμεί , δηλαδή να επιλέξει τη σειρά κατά βούληση;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 31, 2025 2:49 pm**

αρψ2400 έγραψε: Δευ Μαρ 31, 2025 12:49 pm Μπορεί να αναφωνήσει τον αριθμό και την τιμή με αυτή τη σειρά ή μπορεί να αναφωνήσει πρώτα την τιμή και μετά τον αριθμό αν το επιθυμεί , δηλαδή να επιλέξει τη σειρά κατά βούληση;

Δεν διευκρινίζεται στην εκφώνηση, αλλά ναι θα μπορούσαν να συνεννοηθούν και για την σειρά υποθέτω.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 31, 2025 3:35 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Μαρ 31, 2025 2:49 pm
αρψ2400 έγραψε: Δευ Μαρ 31, 2025 12:49 pm Μπορεί να αναφωνήσει τον αριθμό και την τιμή με αυτή τη σειρά ή μπορεί να αναφωνήσει πρώτα την τιμή και μετά τον αριθμό αν το επιθυμεί , δηλαδή να επιλέξει τη σειρά κατά βούληση;
Δεν διευκρινίζεται στην εκφώνηση, αλλά ναι θα μπορούσαν να συνεννοηθούν και για την σειρά υποθέτω.

Το ρωτάω γιατί αυτό δίνει τη δυνατότητα για μετάδοση μιας πληροφορίας ακόμη , που απλοποιεί τα πράγματα. Ο βοηθός επιλέγοντας τη σειρά μπορεί να προσδιορίσει πλήρως τον 2025-ψήφιο δυαδικό στις 2025 πρώτες θέσεις .Σε περίπτωση που είναι μικρότερος του 2025 και πρέπει ο βοηθός να αποκαλύψει μία από τις πρώτες 2025 θέσεις ,με το κόλπο της σειράς-αριθμός ή αριθμός-σειρά μπορεί να δώσει ένα ψηφίο ακόμη κάπου αλλού, και έτσι ο Μάγος να ξέρει 2025 ψηφία σε κάθε περίπτωση .Τι λένε οι επίσημες λύσεις ;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 01, 2025 6:12 pm**

αρψ2400 έγραψε: Δευ Μαρ 31, 2025 3:35 pm Σε περίπτωση που είναι μικρότερος του 2025 και πρέπει ο βοηθός να αποκαλύψει μία από τις πρώτες 2025 θέσεις ,με το κόλπο της σειράς-αριθμός ή αριθμός-σειρά μπορεί να δώσει ένα ψηφίο ακόμη κάπου αλλού, και έτσι ο Μάγος να ξέρει 2025 ψηφία σε κάθε περίπτωση .

Πώς και ποιό ψηφίο κάπου αλλού;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 01, 2025 8:57 pm**

Το 2026ο ψηφίο για παράδειγμα .Αν στην πρώτη 2025 άδα για παράδειγμα είναι τα ψηφία 0000......0000111 , το 7 δηλαδή , ο Βοηθός θα πρέπει να πατήσει το 8ο ψηφίο .(το πρώτο είναι το 00000...00000 ,το 2ο το 0000...000001 κτλ).Έτσι ο Μάγος θα αποκαλύψει τα 2024 ψηφία αλλά όχι το 8ο.Θέλει ακόμα 1.Με το κόλπο της εναλλαγής σειρά -ψηφίο θα ξέρει ακόμα ένα προσυνενοημένο , το 2026ο , το τελευταίο, δεν έχει σημασία.Αν ο αριθμός στις πρώτες 2025 θέσεις είναι μεγαλύτερος του 2024 (στη δυαδική μορφή) ο Βοηθός θα αποκαλύψει ψηφίο μετά την 2025 η θέση και μαζί και τη δυαδική μορφή του αριθμού στη αρχή ,δηλαδή τα πρώτα 2025 ψηφία.Ο Μάγος τότε θα μπορεί να αποκαλύψει τα πρώτα 2025 ψηφία.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 01, 2025 8:58 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Απρ 01, 2025 6:12 pm
αρψ2400 έγραψε: Δευ Μαρ 31, 2025 3:35 pm Σε περίπτωση που είναι μικρότερος του 2025 και πρέπει ο βοηθός να αποκαλύψει μία από τις πρώτες 2025 θέσεις ,με το κόλπο της σειράς-αριθμός ή αριθμός-σειρά μπορεί να δώσει ένα ψηφίο ακόμη κάπου αλλού, και έτσι ο Μάγος να ξέρει 2025 ψηφία σε κάθε περίπτωση .
Πώς και ποιό ψηφίο κάπου αλλού;

Το 2026ο ψηφίο για παράδειγμα .Αν στην πρώτη 2025 άδα για παράδειγμα είναι τα ψηφία 0000......0000111 , το 7 δηλαδή , ο Βοηθός θα πρέπει να πατήσει το 8ο ψηφίο .(το πρώτο είναι το 00000...00000 ,το 2ο το 0000...000001 κτλ).Έτσι ο Μάγος θα αποκαλύψει τα 2024 ψηφία αλλά όχι το 8ο.Θέλει ακόμα 1.Με το κόλπο της εναλλαγής σειρά -ψηφίο θα ξέρει ακόμα ένα προσυνενοημένο , το 2026ο , το τελευταίο, δεν έχει σημασία.Αν ο αριθμός στις πρώτες 2025 θέσεις είναι μεγαλύτερος του 2024 (στη δυαδική μορφή) ο Βοηθός θα αποκαλύψει ψηφίο μετά την 2025 η θέση και μαζί και τη δυαδική μορφή του αριθμού στη αρχή ,δηλαδή τα πρώτα 2025 ψηφία.Ο Μάγος τότε θα μπορεί να αποκαλύψει τα πρώτα 2025 ψηφία.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 02, 2025 11:38 pm**

Πρόβλημα 4ο

Πρόβλημα 4. Θα ονομάσουμε το υποσύνολο A ενός επιπέδου ευθειοφανή, αν για κάποια ευθεία l του ίδιου επιπέδου θα βρεθεί τέτοια ένα προς ένα και επί απεικόνιση f: l \to A, ώστε για οποιαδήποτε δυο σημεία X,Y της ευθείας l το μήκος του τμήματος XY να διαφέρει από το μήκος του τμήματος f(X)f(Y), το πολύ κατά 1. Αληθεύει άραγε ότι οποιοδήποτε ευθειοφανή υποσύνολο του επιπέδου βρίσκεται μεταξύ δυο κάποιων παράλληλων ευθειών;

Ένα αντιπαράδειγμα είναι η συνάρτηση $\sqrt{x}$ και η συμμετρική της ως προ τον άξονα y'y ή την αρχή των αξόνων.Ευθειοφανή υποσύνολο του επιπέδου που δεν βρίσκεται μεταξύ δυο κάποιων παράλληλων ευθειών.Προφανώς θέλει κάποιες πράξεις αλλά βγαίνει σχετικά εύκολα.Η ιδέα για το αντιπαράδειγμα προήλθε από την αδυναμία να αποδειχτεί ότι η απόσταση ενός σημείου f(z) από το ευθύγραμμο τμήμα (f(x)f(y)) με x<z<y παραμένει φραγμένη από κάποια σταθερά ,και τότε τα σημεία θα ήταν εντός ευθείας .Η διαδικασία σε στέλνει κατευθείαν στην τετραγωνική ρίζα αν και σίγουρα δουλεύει και για πιο ''γλυκές'' συναρτήσεις που τείνουν στο άπειρο.(Τις λογαριθμικές για παράδειγμα αν και δεν έχω κάνει τις πράξεις για τις τελευταίες).

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 04, 2025 11:09 am**

Πρόβλημα1

Πρόβλημα 1. Μεταξύ των δυο οκτώ στον αριθμό 88 γράφτηκαν μερικά μηδενικά. Να αποδείξετε ότι πάντα μπορούμε να γράψουμε αριστερά του νέου αριθμού μερικά ψηφία έτσι, ώστε να προκύψει αριθμός, ο οποίος είναι τέλειος κύβος.

Για κάθε φυσικό

θα πρέπει να δειχθεί ότι υπάρχουν φυσικοί

και

έτσι ώστε
$\displaystyle x \cdot 10^{k+2} + 8 \cdot 10^{k+1} + 8 = n^3.$
Θα πρέπει να ισχύει n = 10m + 2

(;)και επομένως
$\displaystyle x \cdot 10^{k+2} + 8 \cdot 10^{k+1} + 8 = 10^3 m^3 + 6\cdot10^2 m^2 + 12\cdot10\, m + 8.$
Απλοποιώντας το 8 και διαιρώντας την εξίσωση δια 10, έχουμε:
$\displaystyle x \cdot 10^{k+1} + 8 \cdot 10^k = 10^2 m^3 + 6\cdot10\, m^2 + 12 m = m\left(10^2 m^2 + 6\cdot10\, m + 12\right).$
Παρατηρούμε ότι στο δεξί μέλος, η παρένθεση τελειώνει σε 2 και πρέπει να ακολουθούν

μηδενικά. Άρα, πρέπει:
$\displaystyle m = \lambda \cdot 10^k.$
Με αντικατάσταση παίρνουμε:
$\displaystyle x \cdot 10 + 8 = \lambda\left(\lambda^2 \cdot 10^{2k+2} + 6\lambda \cdot 10^{k+1} + 12\right).$
Επιλέγοντας, για παράδειγμα, $\lambda = 9$ (δεν είναι η μοναδική τιμή), έχουμε:
$\displaystyle x \cdot 10 + 8 = 9^3 \cdot 10^{2k+2} + 6\cdot9^2 \cdot 10^{k+1} + 108,$
ή ισοδύναμα:
$\displaystyle x = 9^3 \cdot 10^{2k+1} + 6\cdot9^2 \cdot 10^k + 10.$
Έτσι, εισάγοντας αριστερά από τα δύο 8 με τα

μηδενικά ανάμεσα τους , το χ , προκύπτει για κάθε

μη αρνητικό ακέραιο ,τέλειος κύβος.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 05, 2025 11:16 am**

Πρόβλημα 2.

Πρόβλημα 2. Ένα κομμάτι τυρί μάζας ενός κιλού κόπηκε σε n \geq 4 κομμάτια μάζας μικρότερης των 600 γραμμαρίων. Προέκυψε ότι αυτά δεν μπορούμε να τα διαχωρίσουμε σε δυο σωρούς έτσι, ώστε η μάζα κάθε σωρού να είναι τουλάχιστον 400 γραμμάρια, αλλά όχι περισσότερα από 600 γραμμάρια (ο σωρός μπορεί να αποτελείται και από ένα κομμάτι). Να αποδείξετε ότι θα βρεθούν τρία τέτοια κομμάτια, ώστε η συνολική μάζα οποιονδήποτε δυο εξ αυτών να είναι μεγαλύτερη των 600 γραμμαρίων.

Για n =4 ισχύει . Έστω Α1 ,Α2 ,Α3 ,Α4 τα κομμάτια από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Όλα τα κομμάτια δεν είναι απλώς μικρότερα του 600 αλλά και μικρότερα του 400 διαφορετικά ο ένας σωρός θα αποτελείτο από αυτό το κομμάτι με μάζα μικρότερη του 600 (όχι μεγαλύτερη) και μεγαλύτερη ή ίση του 400 (τουλάχιστον 400) και ο σωρός των υπολοίπων θα είχε βάρος μεγαλύτερο του τετρακόσια και μικρότερο ή ίσο του 600 . $A_4 +A_3 \geq 500$ και
$A_4 +A_2 \geq 500$ και για να ικανοποιείται η συνθήκη 'δεν μπορούμε να τα διαχωρίσουμε σε δυο σωρούς έτσι, ώστε η μάζα κάθε σωρού να είναι τουλάχιστον 400 γραμμάρια, αλλά όχι περισσότερα από 600' θα πρέπει $A_4 +A_3 \geq 600$ και
$A_4 +A_2 \geq 600$ . Εφόσον A_4 <400

,

, και αφού A_2+A_3>400

έχουμε αναγκαστικά και A_2+A_3>600

.Άρα η τριάδα μας είναι A_2 , A_3 ,A_4

.
Έστω ότι ισχύει για το n μεγαλύτερο ή ίσο του 4 και θα δείξουμε ότι ισχύει για το n+1.
Έστω $A_1 ,A_2 ,...A_{n-1} ,A_n, A_{n+1}$ τα κομμάτια σε αύξουσα διάταξη με τις δεδομένες υποθέσεις. Άν θεωρήσουμε τα A_1

και

ως ενιαίο κομμάτι $A_{1,2}$ (έχουν άθροισμα μικρότερο του 600 προφανώς) , τα $A_{1,2} ,A_3,....A_{n-1} ,A_n, A_{n+1}$ δεν μπορούμε να τα διαχωρίσουμε σε δυο σωρούς έτσι, ώστε η μάζα κάθε σωρού να είναι τουλάχιστον 400 γραμμάρια, αλλά όχι περισσότερα από 600 γραμμάρια. Αν μπορούσε να γίνει κάτι τέτοιο θα παραβίαζε τη συνθήκη για τα n+1 κομμάτια $A_1 ,A_2 ,...A_{n-1} ,A_n, A_{n+1}$ . Από το προηγούμενο επαγωγικό βήμα υπάρχουν για το $A_{1,2} ,A_3 ,A_4,.....,A_n,A_{n+1}$ τρία κομμάτια, ώστε η συνολική μάζα οποιονδήποτε δυο εξ αυτών να είναι μεγαλύτερη των 600 γραμμαρίων .Αυτά είναι τα τρία μεγαλύτερα $A_{n-1} ,A_n ,A_{n+1}$ . ή τα $A_{1,2} ,A_n , A_{n+1}$ .Αν είναι τα τρία μεγαλύτερα τέλος .Αν είναι τα $A_{1,2} ,A_n, A_{n+1}$ τότε $A_n+A_{n+1}>600$ , $A_{1,2}+A_{n+1}>600$ ,

$A_{1,2}+A_n>600$ .Όπως είπαμε για όλα τα κομμάτια $A_{n+1},A_n < 400$ .Επειδή το $A_{n+1}$ είναι το μεγαλύτερο στο άθροισμα με το A_n

, $A_{n+1} > 300$ και A_n > 200

. Εφόσον $A_{1,2}+A_{n+1}>600$ έχουμε $A_{1,2}>200$ και άρα ο μεγαλύτερος A_2 >100

.Τότε $A_2+A_{n+1}>400$ και επειδή δεν υπάρχει άθροισμα μεταξύ των 400

και

(υπόθεση) ισχύει $A_2+A_{n+1}>600$ .Άρα A_2>200

.Όμοια αφού A_n > 200

έχουμε

και άρα

.Τότε το σύνολό μας είναι το $A_2 , A_n , A_{n+1}$ .(Προφανώς και τα 3 μεγαλύτερα).

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 05, 2025 4:57 pm**

Πρόβλημα 3.

Πρόβλημα 3. Έστω O το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου ABC. Στην πλευρά BC σημειώθηκε σημείο D. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων BOD και COD, τέμνουν για δεύτερη φορά τα τμήματα AB και AC στα σημεία X και Y αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι από τα τμήματα BX, XY και YC μπορεί να κατασκευασθεί τρίγωνο.

Τα τρία τμήματα αντιστοιχούν σε χορδές ίσων κύκλων , εγγεγραμμένων γωνιών αθροίσματος 180 μοιρών.(Επιφυλάσσομαι για τις λεπτομέρεις αν και ίσως είναι εύκολο από το σχήμα με τα τρια εγγράψιμα).

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 08, 2025 12:14 pm**

αρψ2400 έγραψε: Τετ Απρ 02, 2025 11:38 pm Πρόβλημα 4ο
Πρόβλημα 4. Θα ονομάσουμε το υποσύνολο A ενός επιπέδου ευθειοφανή, αν για κάποια ευθεία l του ίδιου επιπέδου θα βρεθεί τέτοια ένα προς ένα και επί απεικόνιση f: l \to A, ώστε για οποιαδήποτε δυο σημεία X,Y της ευθείας l το μήκος του τμήματος XY να διαφέρει από το μήκος του τμήματος f(X)f(Y), το πολύ κατά 1. Αληθεύει άραγε ότι οποιοδήποτε ευθειοφανή υποσύνολο του επιπέδου βρίσκεται μεταξύ δυο κάποιων παράλληλων ευθειών;
Ένα αντιπαράδειγμα είναι η συνάρτηση $\sqrt{x}$ και η συμμετρική της ως προ τον άξονα y'y ή την αρχή των αξόνων.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω των αρψ2400 για τις λύσεις του γενικά και επι της ευκαιρίας παραθέτω το σχόλιο που συνοδεύει αυτό το πρόβλημα στις επισημες λύσεις. Αν η ορολογία δεν έχει μεταφερθεί σωστά παρακαλώ ενημερώστε με να την διορθώσω.

Σχόλιο. Να σημειώσουμε, ότι το δοθέν πρόβλημα είναι στενά συνδεδεμένο με το ενεργά αναπτυσσόμενο τομέα της μετρικής γεωμετρίας, η οποία ασχολείται με την γεωμετρία της απόστασης Gromov-Hausdorff. Για να γνωριστούμε με την αυστηρή επαναδιατύπωση αυτού του προβλήματος, θα χρειαστεί να εισαχθούν μερικοί βοηθητικοί ορισμοί. Για δυο οποιαδήποτε σημεία x,y

του επιπέδου θα συμβολίζουμε με $\left| {xy} \right|$ την κοινή ευκλείδεια απόσταση μεταξύ τους. Έστω

και

δυο μη κενά υποσύνολα του επιπέδου.

Ανοιχτές

-γειτονιές των

και

θα ονομάσουμε τα σύνολα

$U_{r} \left (A \right) = \left \{ x \in \mathbb{R}^2 : \exists a \in A, \quad \left | {ax} \right|<r \right\}$ ,

$U_{r}\left (B \right) = \left \{x \in \mathbb{R}^2 : \exists b \in B, \quad \left| {bx} \right|<r \right\}$ .

Απόσταση Hausdorff μεταξύ των

και

ονομάζεται η ποσότητα

$d_{H} \left (A,B \right )=inf \left\{ r>0: A \subset U_{r} \left (B \right), B \subset U_{r}\left(A\right) \right\}$ .

Με αυτό το τρόπο, το ερώτημα του προβλήματος 4 στην πραγματικότητα περικλείεται στο, είναι άραγε αληθές, ότι η απόσταση Hausdorff μεταξύ δυο τυχαίων υποσυνόλων του επιπέδου, που μοιάζουν με ευθεία (ευθειοφανών), και μιας ευθείας είναι πεπερασμένη.

Τώρα θα αποκωδικοποιήσουμε την έννοια του συνόλου, που μοιάζει με ευθεία.

Κάθε υποσύνολο $\sigma \subset A \times B$ του καρτεσιανού γινομένου των

και

ονομάζεται σχέση μεταξύ των

και

, αν οι προβολές

$\pi_{A}|_{\sigma} : \sigma \to A, \quad \pi_{A}\left(a,b\right)=a$ ,

$\pi_{B}|_{\sigma} : \sigma \to B, \quad \pi_{B}\left(a,b \right)=b$ ,

του υποσυνόλου $\sigma \subset A \times B$ στους παράγοντες

και

του καρτεσιανού γινομένου $A \times B$ είναι επί.

Παραμόρφωση μιας σχέσης $\sigma$ ονομάζεται η ποσότητα

$dis \sigma = sup \left \{ \left | { \left| {aa^{\prime}} \right| -\left| {bb^{\prime}} \right| } \right| : \left(a,b\right), \left ( a^{\prime}, b^{\prime} \right) \in \sigma \right \}$ .

Θα συμβολίσουμε με $\mathcal{R} \left(A,B \right)$ το σύνολο των σχέσεων μεταξύ των

και

.
Απόσταση κατά Gromov-Hausdorff μεταξύ των

και

ονομάζεται η ποσότητα

$d_{GH} \left (A,B \right)=\dfrac{1}{2} inf \left \{dis \sigma : \sigma \in \mathcal{R} \left(A,B\right) \right \}$ .

Επιστρέφοντας στο πρόβλημα, βλέπουμε ότι ένα υποσύνολο του επίπεδου μοιάζει με ευθεία, αν η απόσταση Gromov-Hausdorff μεταξύ των

και $\mathbb{R}$ δεν υπερβαίνει το 1/2

. Να σημειώσουμε, όπως φαίνεται στην λύση, η ένα προς ένα και επί ιδιότητα της

δεν είναι ουσιαστική για την λύση του προβλήματος και συμπεριλήφθη στην διατύπωση για τεχνική ευκολία.

Έτσι, η επαναδιατύπωση του προβλήματος στα πλαίσια της μετρικής γεωμετρίας, στην οποία και προέκυψε σε πρόσφατες εργασίες, ακούγεται με τον ακόλουθο τρόπο. Η απόσταση Gromov-Hausdorff μεταξύ ενός υποσυνόλου $A \subset \mathbb{R}^2$ και του $\mathbb{R}$ είναι πεπερασμένη. Αληθεύει άραγε, ότι η απόσταση Hausdorff μεταξύ του

και μιας ευθείας (η οποία με φυσικό τρόπο μπορεί να ταυτιστεί με το $\mathbb{R}$ διατηρώντας την απόσταση) είναι πεπερασμένη;

Όπως δείχθηκε στο πρόβλημα, στη δοθείσα περίπτωση υπάρχει αναπάντεχο αντιπαράδειγμα. Ωστόσο αποδεικνύεται ότι, αν στην υπόθεση αντικαταστήσουμε την ευθεία $\mathbb{R}$ με το επίπεδο $\mathbb{R}^2$ , τότε η απάντηση αλλάζει στο αντίθετο! Με άλλα λόγια, αν η απόσταση Gromov-Hausdorff μεταξύ ενός συνόλου $A \subset \mathbb{R}^2$ και του ίδιου του επιπέδου $\mathbb{R}^2$ είναι πεπερασμένη, τότε και η απόσταση Hausdorff μεταξύ τους θα είναι πεπερασμένη. Δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση θα βρεθεί τέτοιος θετικός αριθμός $\epsilon$ , ώστε για κάθε σημείο

του επιπέδου θα βρεθεί κάποιο σημείο

του

, ώστε $\left| {ax} \right| < \epsilon$ . Επιπλέον αποδεικνύεται ότι ανάλογος ισχυρισμός ισχύει και για το $\mathbb{R}^n$ για οποιοδήποτε φυσικό

. Παρά την φυσικότητα αυτού του ισχυρισμού, το δοθέν αποτέλεσμα αποτελεί ένα δύσκολο θεώρημα και η απόδειξή του βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στις ιδιαιτερότητες του χώρου $\mathbb{R}^n$ με ευκλείδεια μετρική. Για παράδειγμα αν αλλάξουμε την ευκλείδεια απόσταση στον $\mathbb{R}^n$ με μια τυχαία νόρμα, τότε μέχρι στιγμής δεν είναι γνωστό, αν αληθεύει το ανάλογο αυτού του ισχυρισμού!

Για περεταίρω γνωριμία με την μετρική γεωμετρία συνιστούμε το αξιόλογο εγχειρίδιο $\left[1 \right]$ και για όσους ενδιαφέρονται για την γεωμετρία της απόστασης Gromov-Hausdorff και πιο συγκεκριμένα για την γενίκευση του προβλήματος 11.4

προτείνουμε τις σημειώσεις [2]

και την φρέσκια εργασία [3]

, όπου αποδεικνύεται η δοθείσα γενίκευση.

$\left[1 \right]$ Μπουράγκο Ντ. Ιου., Μπουράγκο Ιου. Ντ. Ιβάνοβ Σ.Β. Μετρική Γεωμετρία. Μόσχα-Ιζέβσκ: Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μελετών, 2004.
$\left[ 2 \right]$ Tuzhilin A. A. Lectures on Hausdorff and Gromov–Hausdorff Distance Geometry. ArXiv e-prints, arXiv:2012.00756, 2019.
$\left[ 3 \right]$ Mikhailov I. N., Tuzhilin A. A. When the Gromov–Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite? ArXiv e-prints, arXiv:2411.13539, 2024

Πηγή

mathematica.gr

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,2η μέρα)