mathematica.gr

Οι ρητοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ακέραιοι.
Να αποδείξετε ότι οι είναι ακέραιοι.

socrates έγραψε: Παρ Απρ 04, 2025 3:01 am Οι ρητοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ακέραιοι.
Να αποδείξετε ότι οι είναι ακέραιοι.

.
Για κάποιους ακέραιους είναι . Λύνοντας το σύστημα έπεται (ή ανάποδα τα πρόσημα).

Αφού οι είναι ρητοί, έπεται ότι ο είναι τετράγωνο ρητού, και από γνωστή θεωρία είναι τετράγωνο φυσικού. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε για κάποιον φυσικό .

Παρατηρούμε ότι οι και είναι είτε άρτιοι και οι δύο ή περιττοί και οι δύο (άμεσο).

Έπεται οι και είναι είτε άρτιοι και οι δύο ή περιττοί και οι δύο. Συμπεραίνουε από αυτό ότι οι

είναι φυσικοί, όπως θέλαμε να δείξουμε.

socrates έγραψε: Παρ Απρ 04, 2025 3:01 am Οι ρητοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ακέραιοι.
Να αποδείξετε ότι οι είναι ακέραιοι.

Ας το δούμε διαφορετικά.
Τα είναι ρίζες τριωνύμου με μεγιστοβαθμιο συντελεστή 1.
Είναι
Είναι εύκολο μα δούμε (παίρνοντας άρτιους, περιττούς ) ότι το είναι ακέραιος.
Αρα τα είναι ακέραιοι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Απρ 13, 2025 12:53 pm Είναι εύκολο μα δούμε (παίρνοντας άρτιους, περιττούς ) ότι το είναι ακέραιος.
Αρα τα είναι ακέραιοι.

Σταύρο, σωστά. Αλλά από το γεγονός ότι οι είναι ακέραιοι μέχρι να πούμε ότι οι ίδιοι οι είναι ακέραιοι, θέλει κάποιο βήμα. Στην λύση που ακριβώς αυτό έκανα. Κατά τα άλλα οι λύσεις μας είναι ουσιαστικά ίδιες. Για παράδειγμα το βήμα χρειάζεται στο πρώτο μου βήμα, να βρούμε τύπο για τα .

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Απρ 13, 2025 8:13 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Απρ 13, 2025 12:53 pm Είναι εύκολο μα δούμε (παίρνοντας άρτιους, περιττούς ) ότι το είναι ακέραιος.
Αρα τα είναι ακέραιοι.

Σταύρο, σωστά. Αλλά από το γεγονός ότι οι είναι ακέραιοι μέχρι να πούμε ότι οι ίδιοι οι είναι ακέραιοι, θέλει κάποιο βήμα. Στην λύση που ακριβώς αυτό έκανα. Κατά τα άλλα οι λύσεις μας είναι ουσιαστικά ίδιες. Για παράδειγμα το βήμα χρειάζεται στο πρώτο μου βήμα, να βρούμε τύπο για τα .

Καλημέρα Μιχάλη.
Δεν νομίζω σε αυτό τον φάκελλο χρειάζεται να πούμε κάτι παραπάνω από το ότι είναι ρίζες τριωνύμου με μεγιστοβάθμιο συντελεστή 1.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Απρ 14, 2025 10:40 am Καλημέρα Μιχάλη.
Δεν νομίζω σε αυτό τον φάκελλο χρειάζεται να πούμε κάτι παραπάνω από το ότι είναι ρίζες τριωνύμου με μεγιστοβάθμιο συντελεστή 1.

Σταύρο, Καλημέρα.

Αυτό που εννοώ δεν είναι ότι χρειάζεται αναφορά σε τριώνυμο. Αυτό που εννοώ ειναι ότι αφού ο τύπος για τις ρίζες του τριωνύμου περιέχει τετραγωνική ρίζα, χρειάζεται να πούμε ένα σχόλιο γιατί η τετραγωνική αυτή ρίζα οδηγεί σε ακέραιο.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Απρ 14, 2025 11:29 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Απρ 14, 2025 10:40 am Καλημέρα Μιχάλη.
Δεν νομίζω σε αυτό τον φάκελλο χρειάζεται να πούμε κάτι παραπάνω από το ότι είναι ρίζες τριωνύμου με μεγιστοβάθμιο συντελεστή 1.

Σταύρο, Καλημέρα.

Αυτό που εννοώ δεν είναι ότι χρειάζεται αναφορά σε τριώνυμο. Αυτό που εννοώ ειναι ότι αφού ο τύπος για τις ρίζες του τριωνύμου περιέχει τετραγωνική ρίζα, χρειάζεται να πούμε ένα σχόλιο γιατί η τετραγωνική αυτή ρίζα οδηγεί σε ακέραιο.

Να γίνω πιο σαφής.
Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και μεγιστοβάθμιο 1 , αν έχει ρητή ρίζα τότε αυτή είναι ακέραιος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Απρ 14, 2025 2:48 pm Να γίνω πιο σαφής.
Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και μεγιστοβάθμιο 1 , αν έχει ρητή ρίζα τότε αυτή είναι ακέραιος.

Σωστό και ωραία σύντομη λύση.

Σταύρο, ευχαριστούμε.