mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 04, 2025 9:28 am**

: Η τρίτη διάσταση.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 1344 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου BA= d

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, με : $AS=\dfrac{4d}{5}$

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

.

Η ευθεία

και η κάθετη της

στο

, τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 04, 2025 7:06 pm**

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 04, 2025 9:28 am Η τρίτη διάσταση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , με : $AS=\dfrac{4d}{5}$

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα .

Η ευθεία και η κάθετη της στο , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Ας είναι

το σημείο τομής των $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SP$ . Ακόμα έστω

το σημείο τομής των $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP$ .

Η πολική του

ως προς τις ευθείες $TB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TA$ είναι η

.

Αλλά η πολική του

είναι η χορδή των επαφών δηλαδή η $PD \bot AB$ . Αν λοιπόν προεκταθεί η

προς το

,

Θα περάσει από το

. Μετά απ’ αυτά : η τετράδα $\left( {D,S\backslash B,A} \right)$ είναι αρμονική και AT//PD

.

Με $x = DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = y$ έχω :

: Η τρίτη διάσταση_ok.png (16.22 KiB) Προβλήθηκε 1319 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{SA}}{{SB}} \hfill \\ \dfrac{{PD}}{{TA}} = \dfrac{{BD}}{{BA}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{{d - x}} = \dfrac{{\dfrac{{4d}}{5}}}{{d + \dfrac{{4d}}{5}}} \hfill \\ \dfrac{{\sqrt {x\left( {d - x} \right)} }}{y} = \dfrac{{d - x}}{d} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{4d}}{{13}} \hfill \\ y = \dfrac{{2d}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Παρατήρηση

1. Η πολικότητα σημείου ως προς δύο ευθείες είναι ισχυρότερη της πολικότητας σημείου ως προς κύκλο.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 04, 2025 11:29 pm**

: τρίτη διάσταση.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

... Άρα : $\cos^2\theta=\dfrac{9}{13}$ , συνεπώς : $\tan\theta=\dfrac{2}{3}$ , επομένως : $AT=\dfrac{2d}{3}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 05, 2025 2:29 am**

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 04, 2025 9:28 am Η τρίτη διάσταση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , με : $AS=\dfrac{4d}{5}$

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα .

Η ευθεία και η κάθετη της στο , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Κατασκευάζοντας το παραλ/μμο TPCA

,λόγω της ισότητας των πράσινων γωνιών θα είναι PD=PC=AT

$SP^2= \dfrac{4d}{5}. \dfrac{9d}{5} \Rightarrow SP= \dfrac{6d}{5}$ κι από $\dfrac{PD}{PS} = \dfrac{BA}{BS} \Rightarrow.... PD=AT= \dfrac{2d}{3}$

: Η τρίτη διάσταση.png (16.66 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 05, 2025 1:22 pm**

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 04, 2025 9:28 am Η τρίτη διάσταση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , με : $AS=\dfrac{4d}{5}$

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα .

Η ευθεία και η κάθετη της στο , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Η

είναι εσωτερική διχοτόμος του PSD,

άρα η

είναι η εξωτερική διχοτόμος.

: Η τρίτη διάσταση.png (14.05 KiB) Προβλήθηκε 1270 φορές

$\displaystyle \frac{{AS}}{{AD}} = \frac{{BS}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AS}}{{BS}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow AD = \frac{{4d}}{{13}},BD = \frac{{9d}}{{13}}$

Εξάλλου $\displaystyle PD = \sqrt {AD \cdot BD} = \frac{{6d}}{{13}},$ οπότε $\displaystyle \frac{{PD}}{{AT}} = \frac{{BD}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{6d}}{{13AT}} = \frac{9}{{13}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AT=\frac{2d}{3}}$

mathematica.gr

Η τρίτη διάσταση

Η τρίτη διάσταση

Re: Η τρίτη διάσταση

Re: Η τρίτη διάσταση

Re: Η τρίτη διάσταση

Re: Η τρίτη διάσταση