mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 05, 2025 1:06 pm**

: Θέμα ( ανάθεμα ! ).png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 1872 φορές

Ο κύκλος

έχει το κέντρο του στον ημιάξονα

, με : $OK\geq r$ . Φέρουμε το άνω εφαπτόμενο τμήμα

.

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

. β) Αν

είναι η τεταγμένη του

, βρείτε το $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 07, 2025 10:51 am**

: thema anathema.png (35.27 KiB) Προβλήθηκε 1765 φορές

Αν $S(x,y), \ \ x>0,\ \ y>0$ τότε:

$\displaystyle{y^2=x\sqrt{r^2-y^2} \Leftrightarrow y^4+x^2y^2-x^2r^2=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{y^2=\dfrac{\sqrt{x^4+4x^2r^2}-x^2}{2}=\dfrac{2x^2r^2}{\sqrt{x^4+4x^2r^2}+x^2}=\dfrac{2r^2}{\sqrt{1+4\left(\dfrac{r}{x}\right)^2}+1}}$ .

Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

$\displaystyle{f(x)=\dfrac{\sqrt{2}r}{\sqrt{\sqrt{1+4\left(\dfrac{r}{x}\right)^2}+1}}, x>0}$

με $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=r}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 07, 2025 11:11 am**

Μια φαινομενικά "κομψότερη" εκδοχή είναι η : $f(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2x\left(\sqrt{x^2+4r^2}-x\right)} , x \geq 0$ .

Κι εδώ το όριο είναι φυσικά

( δείξτε το ) , κάτι που γεωμετρικά είναι προφανές !

mathematica.gr

Θέμα (ανάθεμα !)

Θέμα (ανάθεμα !)

Re: Θέμα (ανάθεμα !)

Re: Θέμα (ανάθεμα !)