mathematica.gr

Βρείτε τους πραγματικούς , για τους οποίους η εξίσωση : έχει μοναδική λύση .

Συμπλήρωση - υπόδειξη , μια μέρα μετά : Πρόκειται για μια δυσκολότερη εκδοχή της άσκησης , από τις

" ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( Δ' ΟΜΑΔΑΣ) του σχολικού βιβλίου . Η απάντηση είναι : ή : .

Λύση εκτός φακέλου:

Αν η εξίσωση ορίζεται όταν

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (άμεσο με παραγώγους) και με σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών (τα όρια στο -3+ και στο 0- δεν παρουσιάζουν δυσκολία ), επομένως η συνάρτηση, άρα και η εξίσωση, έχει μοναδική ρίζα.

Αν , η εξίσωση ορίζεται οταν Η συνάρτηση, τώρα, έχει ελάχιστο για (απλό με παράγωγο) και έχει όριο συν άπειρο στο 0+ και στο συν άπειρο. (τα όρια δεν έχουν δυσκολία).

Το ελάχιστο της συνάρτησης είναι . (Σαν να λέμε, μοντελοποιώντας με γραφικές παραστάσεις το πρόβλημα, η γραφική παράσταση θυμίζει U (δεν είναι ακριβώς U) με τους κλάδους του να απειριζονται και με ελάχιστο το 4ln4-lnk).
Επομένως, έχει μοναδική ρίζα ακριβώς όταν το ελάχιστο είναι ίσο με 0, οποτε