mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 14, 2025 12:52 pm**

Ξαναδιαβάζοντας το "Πίσω από το πέπλο" του Τεύκρου Μιχαηλίδη, αναρωτήθηκα αφελώς: ποια θεωρήματα θα ήταν πιο κατάλληλα για παρουσίαση σε μαθητές, έστω σε φοιτητές ή γενικούς αναγνώστες τέλος πάντων, και υπαρξιακά και κατασκευαστικά; Πρώτα δηλαδή απόδειξη ύπαρξης για κάτι και μετά κατασκευή του (ή και αντίστροφα, ανάλογα με το κοινό και την περίπτωση);

[Δεν πάει το μυαλό μου σε κάτι συγκεκριμένο, ή αυτό που ζητάω δεν είναι τόσο εύκολο ή άρχισα να ξεχνάω...]

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 15, 2025 8:44 am**

gbaloglou έγραψε: Δευ Απρ 14, 2025 12:52 pm Ξαναδιαβάζοντας το "Πίσω από το πέπλο" του Τεύκρου Μιχαηλίδη, αναρωτήθηκα αφελώς: ποια θεωρήματα θα ήταν πιο κατάλληλα για παρουσίαση σε μαθητές, έστω σε φοιτητές ή γενικούς αναγνώστες τέλος πάντων, και υπαρξιακά και κατασκευαστικά; Πρώτα δηλαδή απόδειξη ύπαρξης για κάτι και μετά κατασκευή του (ή και αντίστροφα, ανάλογα με το κοινό και την περίπτωση);

[Δεν πάει το μυαλό μου σε κάτι συγκεκριμένο, ή αυτό που ζητάω δεν είναι τόσο εύκολο ή άρχισα να ξεχνάω...]

Καλημέρα Γιώργο!

Δεν ξέρω αν ταιριάζει σε αυτό που έχεις στο μυαλό σου, αλλά δίνω ένα παράδειγμα.

Να αποδειχτεί ότι υπάρχει εσωτερικό σημείο τριγώνου, ώστε το άθροισμα των
τετραγώνων των αποστάσεών του από τις πλευρές του να είναι ελάχιστο.

Πρώτα αποδεικνύεται η ύπαρξη και στη συνέχεια η κατασκευή (σημείο Lemoine).

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 15, 2025 9:26 am**

george visvikis έγραψε: Τρί Απρ 15, 2025 8:44 am
gbaloglou έγραψε: Δευ Απρ 14, 2025 12:52 pm Ξαναδιαβάζοντας το "Πίσω από το πέπλο" του Τεύκρου Μιχαηλίδη, αναρωτήθηκα αφελώς: ποια θεωρήματα θα ήταν πιο κατάλληλα για παρουσίαση σε μαθητές, έστω σε φοιτητές ή γενικούς αναγνώστες τέλος πάντων, και υπαρξιακά και κατασκευαστικά; Πρώτα δηλαδή απόδειξη ύπαρξης για κάτι και μετά κατασκευή του (ή και αντίστροφα, ανάλογα με το κοινό και την περίπτωση);

[Δεν πάει το μυαλό μου σε κάτι συγκεκριμένο, ή αυτό που ζητάω δεν είναι τόσο εύκολο ή άρχισα να ξεχνάω...]
Καλημέρα Γιώργο!

Δεν ξέρω αν ταιριάζει σε αυτό που έχεις στο μυαλό σου, αλλά δίνω ένα παράδειγμα.

Να αποδειχτεί ότι υπάρχει εσωτερικό σημείο τριγώνου, ώστε το άθροισμα των
τετραγώνων των αποστάσεών του από τις πλευρές του να είναι ελάχιστο.

Πρώτα αποδεικνύεται η ύπαρξη και στη συνέχεια η κατασκευή (σημείο Lemoine).

Γιώργο βεβαίως, παραδείγματα όπως το δικό σου εννοούσα, είτε εντός είτε εκτός Γεωμετρίας, ευχαριστώ!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 15, 2025 12:32 pm**

Αν επιτρέπεται να επεκταθούμε και σε ασκήσεις , προτείνω την παρακάτω :

: Ύπαρξη και κατασκευή.png (8.16 KiB) Προβλήθηκε 1772 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με :

, να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο

της διχοτόμου

,

τέτοιο ώστε : $\tan(\widehat{DSC})=\dfrac{4}{5}$ . Στη συνέχεια να εντοπιστεί κατασκευαστικά το σημείο

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 15, 2025 5:43 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 15, 2025 12:32 pm Αν επιτρέπεται να επεκταθούμε και σε ασκήσεις , προτείνω την παρακάτω :

Ύπαρξη και κατασκευή.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο , με : , να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο της διχοτόμου ,

τέτοιο ώστε : $\tan(\widehat{DSC})=\dfrac{4}{5}$ . Στη συνέχεια να εντοπιστεί κατασκευαστικά το σημείο .

Όσο το

κινείται από το

προς το

είναι πάντα $\displaystyle \frac{{\widehat B}}{2} = \varphi \leqslant \theta \leqslant 90^\circ - \theta \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leqslant \tan \theta \leqslant \frac{3}{2}.$ Αλλά,

κατά την κίνησή της η γωνία $\theta$ συνεχώς αυξάνει, οπότε υπάρχει σημείο

εσωτερικό του

ώστε $\tan \theta=\dfrac{4}{5}$

: Ύπαρξη και κατασκευή.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 1737 φορές

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle \tan \theta = \tan \left( {E\widehat SC - \varphi } \right) = \frac{4}{5},$ όπου $\tan (E\widehat SC) = \dfrac{{6x + 52}}{{9x}}$

και $\tan \varphi = \dfrac{2}{3}.$ Με αντικατάσταση βρίσκω $\boxed{x=\frac{7}{3}}$ και η κατασκευή είναι πλέον απλή.

mathematica.gr

Και με ύπαρξη και με κατασκευή

Και με ύπαρξη και με κατασκευή

Re: Και με ύπαρξη και με κατασκευή

Re: Και με ύπαρξη και με κατασκευή

Re: Και με ύπαρξη και με κατασκευή

Re: Και με ύπαρξη και με κατασκευή