mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 03, 2025 10:03 am**

Δίνεται συνάρτηση $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που ικανοποιεί τις ιδιότητες:

$\bullet$ $\lim\limits_{x\to x_o}g(x)=u_o\in\mathbb{R}$

$\bullet$ Για κάθε $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ και για κάθε $\ell$ ισχύει η συνεπαγωγή

$\lim\limits_{u\to u_o} f(u)=\ell \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_o}f(g(x))=\ell$

Να αποδειχθεί ότι $g(x)\ne u_o$ κοντά στο x=x_o

ΧΩΡΙΣ να χρησιμοποιηθεί καμία μορφή του αξιώματος επιλογής,
είτε άμεσα, είτε έμμεσα μέσω θεωρημάτων των οποίων η απόδειξη βασίζεται σε αυτά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Τα παραπάνω όρια ορίζονται με το συνηθισμένο $\varepsilon,\delta$ ορισμό, ενώ το $\mathbb{R}$ είναι εφοδιασμένο με τη συνήθη ευκλείδεια τοπολογία.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Ας θυμηθούμε το ακόλουθο θεώρημα για το όριο της σύνθεσης συναρτήσεων.

Αν $f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και ισχύουν οι εξής τρεις συνθήκες:

#1. $\lim\limits_{x\to x_o}g(x)=u_o\in\mathbb{R}$
#2. $\lim\limits_{u\to u_o} f(u)=\ell$
#3. $g(x)\ne u_o$ κοντά στο x=x_o

τότε $\lim\limits_{x\to x_o}f(g(x))=\ell$

Το ζητούμενο της παρούσας ανάρτησης αφορά το γεγονός ότι
η ικανή πλην "ενοχλητική" συνθήκη #3. είναι απαραίτητο
να προστεθεί στις συνθήκες #1.,#2. εάν θέλουμε
το συμπέρασμα του θεωρήματος της σύνθεσης να αληθεύει χωρίς επιπλέον υποθέσεις για τη συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Σχετικό και πιο ενδιαφέρον είναι το ακόλουθο:
viewtopic.php?f=67&t=77532

mathematica.gr

Όριο σύνθεσης: είναι αναγκαία!

Όριο σύνθεσης: είναι αναγκαία!