mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 12, 2025 10:21 am**

: Ανατολή και Βορράς.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

και έστω

, η προβολή του στην

.

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την εφαπτομένη του τόξου στο

, στο σημείο

.

Βρείτε την "ανατολικότερη" θέση του

. Κάντε το ίδιο και για την "βορειότερη" θέση του

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 12, 2025 1:49 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 12, 2025 10:21 am Ανατολή και Βορράς.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου και έστω , η προβολή του στην .

Η παράλληλη από το προς την τέμνει την εφαπτομένη του τόξου στο , στο σημείο .

Βρείτε την "ανατολικότερη" θέση του . Κάντε το ίδιο και για την "βορειότερη" θέση του .

Θέτω

Επειδή

είναι διχοτόμος της $T\widehat PS$ και AP//TS,

θα

είναι $PS=PT=\sqrt{x(2r-x)}$ και BS=x,

οπότε το

είναι χαρταετός και εγγράψιμο.

Από θεώρημα Πτολεμαίου, $\displaystyle 2x\sqrt {x(2r - x)} = ST\sqrt {2rx} \Leftrightarrow ST = \frac{{2x\sqrt {2r - x} }}{{\sqrt {2r} }}.$

: Ανατολή και Βορράς.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές

$\displaystyle AP = \sqrt {2r(2r - x)} \Rightarrow \frac{{ST}}{{AP}} = \frac{x}{r}\mathop \Leftrightarrow \limits^{AP//TS} \frac{{x + y}}{{2r - x}} = \frac{x}{r} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{1}{r}( - {x^2} + rx)}$

Άρα, $\boxed{ {y_{\max }} = \frac{r}{4}}$ όταν $\boxed{ x = \frac{r}{2}}$

Από h^2=x^2-y^2,

...κλπ, βρίσκουμε $\boxed{ {h_{\max }} = \frac{{3r\sqrt 3 }}{4}}$ όταν $\boxed{ x = \frac{{3r}}{2}}$

mathematica.gr

Ανατολή και Βορράς

Ανατολή και Βορράς

Re: Ανατολή και Βορράς