mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 20, 2025 7:56 pm**

: Υψηλές προσδοκίες.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Σημείο

κινείται στο εσωτερικό τμήματος

. Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου

,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και έστω

η προβολή του

στην

.

Βρείτε το $\sin\widehat{PAB}$ , κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το ύψος

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 21, 2025 6:12 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 20, 2025 7:56 pm Υψηλές προσδοκίες.pngΣημείο κινείται στο εσωτερικό τμήματος . Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου ,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και έστω η προβολή του στην .

Βρείτε το $\sin\widehat{PAB}$ , κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το ύψος .

Θέτω

(σταθερό) , AS = x

με

, $ST = y\,,\,\,PT = h$ , με $y\,\,,\,\,h > 0$

Η τετράδα , $\left( {A,T\backslash S,B} \right)$ είναι αρμονική, Θα ισχύει , $\dfrac{{ST}}{{SA}} = \dfrac{{BT}}{{BA}} \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{{a - x - y}}{a} \Rightarrow y = \dfrac{{x\left( {a - x} \right)}}{{a + x}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Από το Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle PAT$ και τη δύναμη του

προκύπτει:

$\dfrac{{AP}}{{PT}} = \dfrac{{AS}}{{ST}} \Rightarrow \dfrac{{A{P^2}}}{{{h^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} \Rightarrow {y^2}A{P^2} = {h^2}{x^2} \Rightarrow {y^2}\left( {ax} \right) = {h^2}{x^2}$ ή ${h^2} = a\dfrac{{{y^2}}}{x}\,\,\,\left( 2 \right)$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ γράφεται :

: Υψηλές προσδοκίες.png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

$h = \dfrac{{a - x}}{{a + x}}\sqrt {ax} \,\,$ Θεωρώ τη συνάρτηση , $h = f\left( x \right) = \sqrt a \dfrac{{a - x}}{{a + x}}\sqrt x {\kern 1pt} \,\,\,,\,\,x \in \left( {0,a} \right)$ .

Έχει παράγωγο , $f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^2} + 4ax - {a^2}} \right)\sqrt {ax} }}{{2x{{\left( {a + x} \right)}^2}}}$ . η

παρουσιάζει μέγιστο στο $k = a\left( {\sqrt 5 - 2} \right)$ το

$f\left( k \right) = a\sqrt {\dfrac{{5\sqrt 5 - 11}}{2}}$ και τότε $\boxed{\sin \theta = \dfrac{{f\left( k \right)}}{{\sqrt {ak} }} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2} = \varphi - 1}$

mathematica.gr

Υψηλές προσδοκίες

Υψηλές προσδοκίες

Re: Υψηλές προσδοκίες