mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 01, 2025 7:25 am**

: Ψάχνω για μια θέση.png (21.79 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές

Εντοπίστε την θέση της διαμέτρου

του κύκλου (K)

, ώστε αν η εφαπτομένη στο

, τέμνει

τον οριζόντιο άξονα στο σημείο

, η

να διέρχεται από τον νότιο πόλο

του κύκλου .

Επιβεβαιώστε τη ορθότητα της λύσης σας , βρίσκοντας το "ύψος' του

και το : $\cos\widehat{ACB}{$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 01, 2025 10:15 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιουν 01, 2025 7:25 am Ψάχνω για μια θέση.pngΕντοπίστε την θέση της διαμέτρου του κύκλου , ώστε αν η εφαπτομένη στο , τέμνει

τον οριζόντιο άξονα στο σημείο , η να διέρχεται από τον νότιο πόλο του κύκλου .

Επιβεβαιώστε τη ορθότητα της λύσης σας , βρίσκοντας το "ύψος' του και το : $\cos\widehat{ACB}$ .

.
Εστω

, οπότε το συμμετρικό του

ως προς το κέντρο K(0,5)

του κύκλου είναι το A(-a,10-b)

και είναι

. Έστω ακόμα C(-p,0)

.

Έχουμε τις συνθήκες

α) Τα C,S,B

είναι συνευθειακά, οπότε $\dfrac {2-0}{0+p}= \dfrac {b-2}{a}$

β) Η εφαπτομένη

έχει κλίση όσο δίνουν οι συντεταγμένες των A,C

αλλά είναι και κάθετη στην

. Άρα $\dfrac {10-b}{-a+p}= -\dfrac {a}{b-5}$

γ) To

βρίσκεται στον κύκλο. Οπότε a^2+(b-5)^2=9

Λύνουμε το σύστημα των τριών. Δεν γράφω τις πράξεις ως απλές αλλά επίπονες. Θα βρούμε $a=2\sqrt 2, \, b=6, \, p=\sqrt 2$ .

Αυτά απαντούν και στα ερωτήματα: Το ύψος του

είναι

και

$\cos\widehat{ACB}= \dfrac {AC}{BC}= \dfrac {\sqrt {18} }{\sqrt {54}}= \dfrac {\sqrt {3} }{3}$

Σχόλιο: Ως άσκηση δεν απαιτεί φαντασία αλλά έχει πολλές πράξεις. Ας τονίσω ότι ασκήσεις με πολλές πράξεις είναι πάντα χρήσιμες για έναν που τώρα μαθαίνει Μαθηματικά, αλλά καλό είναι να είναι φειδωλές σε ένα φόρουμ που πρέπει να καλλιεργεί ελκυστικά Μαθηματικά σε αντιδιαστολή με ασκήσεις "textbook style".

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 01, 2025 10:35 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιουν 01, 2025 7:25 am Ψάχνω για μια θέση.pngΕντοπίστε την θέση της διαμέτρου του κύκλου , ώστε αν η εφαπτομένη στο , τέμνει

τον οριζόντιο άξονα στο σημείο , η να διέρχεται από τον νότιο πόλο του κύκλου .

Επιβεβαιώστε τη ορθότητα της λύσης σας , βρίσκοντας το "ύψος' του και το : $\cos\widehat{ACB}{$ .

Οι δυο κύκλοι στο πιο κάτω σχήμα είναι ορθογώνιοι . Η διάμετρος

χωρίζεται αρμονικά , δια του

, από τον μεγάλο .

Κατασκευή

: Ψάχνω για μια θέση.png (24.23 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

Με

η κάθετη από το

προς την

τέμνει τον δεδομένο κύκλο στο

που θέλω

Μετά εύκολα έχω ότι το

απέχει από την

απόσταση

και $\boxed{\cos \theta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 01, 2025 11:09 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιουν 01, 2025 7:25 am Ψάχνω για μια θέση.pngΕντοπίστε την θέση της διαμέτρου του κύκλου , ώστε αν η εφαπτομένη στο , τέμνει

τον οριζόντιο άξονα στο σημείο , η να διέρχεται από τον νότιο πόλο του κύκλου .

Επιβεβαιώστε τη ορθότητα της λύσης σας , βρίσκοντας το "ύψος' του και το : $\cos\widehat{ACB}{$ .

Αλλιώς. Η

τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο

Εύκολα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες.

: Ψάχνω για μια θέση.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 985 φορές

Άρα,

κι επειδή η

είναι μεσοκάθετος του AD,

το

θα είναι χαρταετός, οπότε $BD\bot CD$

και BD=BA=6.

Άρα το

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής του κύκλου με τη ευθεία y=6.

Εξάλλου,

$OD=LB=2\sqrt 2$ και $SD=2\sqrt 3.$ Επομένως, $\displaystyle \cos \theta = \cos (O\widehat SD) = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

mathematica.gr

Ψάχνω για μια θέση

Ψάχνω για μια θέση

Re: Ψάχνω για μια θέση

Re: Ψάχνω για μια θέση

Re: Ψάχνω για μια θέση