mathematica.gr

Σε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , ( πλησιέστερα προς το ) , θεωρούμε σταθερό σημείο

και υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας κινείται σημείο . Ονομάζουμε την τομή της με το ημικύκλιο

και την τομή της κάθετης με την . Δείξτε ότι τα γινόμενα : και είναι σταθερά ,

με : και βρείτε εκείνη την θέση του , για την οποία είναι : .

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 11, 2025 10:46 am Λόγος γινομένων.pngΣε σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , ( πλησιέστερα προς το ) , θεωρούμε σταθερό σημείο

και υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας κινείται σημείο . Ονομάζουμε την τομή της με το ημικύκλιο

και την τομή της κάθετης με την . Δείξτε ότι τα γινόμενα : και είναι σταθερά ,

με : και βρείτε εκείνη την θέση του , για την οποία είναι : .

.
Το είναι εγγράψιμο (δύο απέναντι γωνίες ορθές) από από δύναμη σημείου έχουμε , ίσον σταθερό.

Επίσης, από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε . Άρα , ίσον σταθερό.

Επίσης

, όπως θέλαμε.

Τέλος, αν θέλουμε δεν έχουμε παρά να πάρουμε το ίσο του (άμεση κατασκευή).

Πρόσθετη άσκηση: Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο διαφορετικό από το , το οποίο είναι βέβαια σταθερό σημείο του.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιουν 11, 2025 12:54 pm Πρόσθετη άσκηση: Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο διαφορετικό από το , το οποίο είναι βέβαια σταθερό σημείο του.

Επειδή το Ρ κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ είναι
επειδή άμα πάρουμε το συμμετρικό Β' του Β ως προς το S θα ισχύει
στο τρίγωνο ΑΤΒ το Q είναι το ορθόκεντρο οπότε οι κύκλοι (ABQ),(ATQ) είναι ίσοι
άρα τόσο είναι και η οπότε ο κύκλος (AQT) θα διέλθει από το Β' σταθερό σημείο.
Πρόσθετη άσκηση: να δείξετε ότι οι AQ,BT τέμνονται πάνω στο ημικύκλιο , έστω στο σημείο X και ότι οι εφαπτομένες του ημικυκλίου στα P,X τέμνονται πάνω στην QS.

Dimessi έγραψε: Πέμ Ιουν 12, 2025 11:37 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιουν 11, 2025 12:54 pm Πρόσθετη άσκηση: Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο διαφορετικό από το , το οποίο είναι βέβαια σταθερό σημείο του.

Επειδή το Ρ κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ είναι
επειδή άμα πάρουμε το συμμετρικό Β' του Β ως προς το S θα ισχύει
στο τρίγωνο ΑΤΒ το Q είναι το ορθόκεντρο οπότε οι κύκλοι (ABQ),(ATQ) είναι ίσοι
άρα τόσο είναι και η οπότε ο κύκλος (AQT) θα διέλθει από το Β' σταθερό σημείο.

Πιο απλά: Αν ο κύκλος τέμνει την στο , τότε από την δύναμη του ως προς αυτόν τον κύκλο έχουμε

.

Αλλά το δεξί μέλος είναι σταθερό (είναι το αποδεικτέο της άσκησης). Αφού, λοιπόν, και το είναι σταθερό, έπεται ότι επίσης ότι το είναι σταθερό.

Το σχήμα για τα πρόσθετα ερωτήματα ( ... σχεδόν απαντημένα ) .

KARKAR έγραψε: Παρ Ιουν 13, 2025 10:39 am Το σχήμα για τα πρόσθετα ερωτήματα ( ... σχεδόν απαντημένα ) .

Και όμως τα ερωτήματα είναι τελείως απαντημένα... αλλά πρέπει να ανατρέξει κανείς στον Αρχιμήδη. Το εν λόγω ερώτημα είναι το Θεώρημα στο Περί Λημμάτων του. Επισυνάπτω την σχετική σελίδα σε μετάφραση Σταμάτη, των Απάντων του Αρχιμήδη.

Υπόψη, μπορεί κανείς να δείξει με το υλικό του Περί Λημμάτων ότι ο Αρχιμήδης γνώριζε το θεώρημα ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν, και υπάρχουν οι αποδείξεις του στην Αραβική γραμματεία, μεταφρασμένα από τα Ελληνικά.

Διαφορετικά,το ότι το X ανήκει στο ημικύκλιο απαντήθηκε στην προηγούμενη μου ανάρτηση. Για το δεύτερο σκέλος
από Pascal στο εκφυλισμένο εγγεγραμμένο στον (Ο) μη κυρτό εξάγωνο προκύπτει
η συνευθειακότητα των σημείων .