mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 15, 2025 2:08 pm**

Πρόβλημα 1. Στο ευκλείδειο επίπεδο με συντεταγμένες x,y

ας είναι

η ευθεία $L:= \left \{ {y=1} \right \}$ , στην οποία σημειώνουμε το σημείο P=(0,1)

. Έστω

ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το (0,0)

. Υποθέτουμε ότι ευθεία

κυλιέται με την φορά του ρολογιού πάνω στον

χωρίς να ολισθαίνει, με τον

να είναι σταθερός. Περιγράψτε την τροχιά του σημειωμένου σημείου σε παραμετρική μορφή $\left ( x(t), y(t) \right)$ .

: Screenshot 2025-06-15 at 14.02.53.png (16.72 KiB) Προβλήθηκε 1658 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 15, 2025 6:02 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Ιουν 15, 2025 2:08 pm Πρόβλημα 1. Στο ευκλείδειο επίπεδο με συντεταγμένες ας είναι η ευθεία $L:= \left \{ {y=1} \right \}$ , στην οποία σημειώνουμε το σημείο . Έστω ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το . Υποθέτουμε ότι ευθεία κυλιέται με την φορά του ρολογιού πάνω στον χωρίς να ολισθαίνει, με τον να είναι σταθερός. Περιγράψτε την τροχιά του σημειωμένου σημείου σε παραμετρική μορφή $\left ( x(t), y(t) \right)$ .

.
Έστω $\widehat BOA=\theta$ (σε ακτίνια), οπότε το μήκος του τόξου

είναι $R\theta$ . Εδώ R=1

, οπότε και το μήκος $AP=1\cdot \theta=\theta$ (όσο το τόξο

).

Έχουμε τώρα $OD=BA-AC=\sin \theta -AP\cos \theta = \sin \theta -\theta \cos \theta$ . Επίσης

$DP=DC+CP=OB+AP\sin \theta = \cos \theta +\theta \cos \theta$

Άρα μία παραμετρική μορφή των συντεταγμένων του

είναι $\boxed {( \sin \theta -\theta \cos \theta, \cos \theta +\theta \cos \theta)}$
.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 15, 2025 8:34 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Ιουν 15, 2025 2:08 pm Πρόβλημα 1. Στο ευκλείδειο επίπεδο με συντεταγμένες ας είναι η ευθεία $L:= \left \{ {y=1} \right \}$ , στην οποία σημειώνουμε το σημείο . Έστω ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το . Υποθέτουμε ότι ευθεία κυλιέται με την φορά του ρολογιού πάνω στον χωρίς να ολισθαίνει, με τον να είναι σταθερός. Περιγράψτε την τροχιά του σημειωμένου σημείου σε παραμετρική μορφή $\left ( x(t), y(t) \right)$ .

Screenshot 2025-06-15 at 14.02.53.png