mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Στελθ

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=77784

Σελίδα 1 από 1

Στελθ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 24, 2025 3:23 am
από KARKAR
Στελθ.png
Στελθ.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 1103 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές, με : AB= AC = b , BC=a . Στην AB και στην προέκταση

της AC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , έτσι ώστε : BP = CQ . Η PQ τέμνει την BC στο T .

Η κάθετη της PQ στο T τέμνει την προέκταση της διαμέσου AM στο S . Υπολογίστε το τμήμα MS .

Re: Στελθ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 24, 2025 7:52 pm
από duamba
Με αναλυτική γεωμετρία, αξονα τετμημένων το BC και αρχη το M.
stel8.png
stel8.png (286.2 KiB) Προβλήθηκε 1044 φορές
Οι συντεταγμενες του P ειναι (-\frac{a}{2}+t, u) και του Q ειναι (\frac{a}{2}+t, -u).

'Ετσι εχω για εξισωση της PQ την y-u = \frac{-2u}{a}(x+\frac{a}{2}-t).

Λυνοντας για y=0 βρισκω τις συντεταγμενες του T που ειναι (t, 0).

Η κλιση της ST ειναι \frac{-1}{\frac{-2u}{a}} και αρα η εξισωση της ST ειναι: y = \frac{a}{2u}(x-t).

Για x=0 βρισκω οτι y = -\frac{at}{2u}.

Όμως επειδή ειναι ABM \sim PBV ισχύει οτι \frac{t}{u} = \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}}

και αρα \boxed{MS = \frac{a^2}{4\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}}}

* Ευχαριστώ τον KARKAR για πολύτιμη διόρθωση στο αποτέλεμα

Re: Στελθ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 24, 2025 11:53 pm
από abgd
Stelth.png
Stelth.png (64.61 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

Από το σημείο Q φέρουμε παράλληλο στην AB η οποία τέμνει την προέκταση της BC στο D.

Το τρίγωνο CQD είναι ισοσκελές, (απόδειξη με τη βοήθεια των γωνιών), και συνεπώς το τετράπλευρο PDQB είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, δηλαδή το σημείο T είναι το μέσο του PQ και η ST μεσοκάθετός του.

SC=SB και SP=SQ οπότε τα τρίγωνα SBP, SCQ είναι ίσα και έτσι οι γωνίες \phi είναι ορθές.

Άρα τα σημεία A,B,S,C είναι ομοκυκλικά και θα είναι: x\cdot AM=MB\cdot MC\Leftrightarrow \boxed{x=\dfrac{a^2}{2\sqrt{4b^2-a^2}}}

Re: Στελθ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιουν 25, 2025 2:07 am
από Dimessi
Διαφορετικά.
Επειδή στο APQ η BTC είναι διατέμνουσα
PB\cdot TQ\cdot CA=BA\cdot CQ\cdot TP
δηλ. TP=TQ
Το S εντοπίζεται ως το σημείο τομής της διχοτόμου της \angle PAQ με τη μεσοκάθετο του PQ
Από θεώρημα νότιου πόλου APSQ εγγράψιμο.
δηλ. \angle TSQ=90^{\circ}-\angle PQS=90^{\circ}-\angle PAS όσο η \angle ΤCΑ
Οπότε STCQ εγγράψιμο οπότε \angle SCQ ορθή
δηλ. \displaystyle x=\frac{b^{2}}{AM}-AM=\frac{a^{2}}{2\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}

Re: Στελθ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 05, 2025 5:45 pm
από Dimessi
KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 24, 2025 3:23 am Στελθ.pngΤο τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές, με : AB= AC = b , BC=a . Στην AB και στην προέκταση

της AC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , έτσι ώστε : BP = CQ . Η PQ τέμνει την BC στο T .

Η κάθετη της PQ στο T τέμνει την προέκταση της διαμέσου AM στο S . Υπολογίστε το τμήμα MS .
Να την κάνουμε πιο ποιητική. :) Το συμμετρικό X του Q ως προς το C ικανοποιεί APX\sim ACB οπότε PX//CB οπότε επειδή C μέσο του XQ, το T μέσο του PQ οπότε το S εντοπίζεται ως η τομή της διχοτόμου της \angle PAQ με τη μεσοκάθετο του PQ.
Στελθ.png
Στελθ.png (724.06 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές
Από θεώρημα νότιου πόλου APSQ εγγραψιμο. Αν η κάθετη από το B στην AB τέμνει την κάθετη από το C στην AC στο Y τότε ο κύκλος (ABC) διέρχεται από το Y και A,M,Y συνευθειακα . Τα ορθογώνια τρίγωνα YBP,YCQ είναι ίσα οπότε YP=YQ και \angle YPB=\angle YQA οπότε το Y ανήκει στον κύκλο (APQ).
Αν T' η προβολή του Y στην PQ από θεώρημα Simpson B,T',C συνευθειακα οπότε T',T συμπίπτουν οπότε Y,S συμπίπτουν.
Οπότε \displaystyle x=\frac{MB\cdot MC}{MA}.
Στελθ.png
Στελθ.png (724.06 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+02:00
Σελίδα 1 από 1

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com