mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 29, 2025 7:53 am**

: Πανόστρατα ΄ ή κατόστρατα.png (19.33 KiB) Προβλήθηκε 1169 φορές

Τα σημεία B , O , A

είναι συνευθειακά με : BO<OA

. Το

είναι σημείο του κύκλου (O,r),(r<OB)

πλησιέστερο προς το

και το

είναι το αντιδιαμετρικό του

( προφανώς πλησιέστερο προς το

).

Να συγκριθούν τα αθροίσματα : BS+SA , BT+TA

. (Λήμμα - συμβολή στην λύση της άσκησης αυτής) .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 29, 2025 5:22 pm**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιουν 29, 2025 7:53 am Τα σημεία είναι συνευθειακά με : . Το είναι σημείο του κύκλου

πλησιέστερο προς το και το είναι το αντιδιαμετρικό του ( προφανώς πλησιέστερο προς το ).

Να συγκριθούν τα αθροίσματα :

.
Φέρνουμε το συμμετρικό

του

ως προς το μέσον

της

, οπότε το BTAT'

είναι παραλληλόγραμμο με $BT=T'A, \, TA=BT'$ . Επειδή $TO=OS, \, TM=MT'$ , η ST'

είναι παράλληλη της

.

Φέρνουμε το συμμετρικό

του

ως προς την ST'

. Έχουμε τότε

$\displaystyle{BS+SA= BS+SA' {\color {red}< }BT'+T'A'= BT'+T'A = BT+TA}$

Δηλαδή η κόκκινη γραμμή είναι μικρότερη της πράσινης.

Σχόλιο αργότερα: Στη ανισότητα παραπάνω υπάρχει ένα κενό. Η ανισότητα ισχύει αν τα S, T'

είναι από την ίδια μεριά της BA'

. Όμως αυτό δεν είναι απαραίτητο. Πρέπει λοιπόν να το ξαναδώ. Για την ώρα η άσκηση είναι ανοικτή.
.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 30, 2025 1:19 am**

Πρόσθεσα ένα σχόλιο στο προηγούμενο ποστ γιατί αντιλήφθηκα ότι ο συλλογισμός μου έχει ένα κενό. Το αφήνω ως έχει (γιατί είναι αργά μέσα στην νύχτα) αλλά επισημαίνω ότι για την ώρα η άσκηση είναι ανοικτή.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 30, 2025 8:22 am**

: Λήμμα λήμματος.png (22.2 KiB) Προβλήθηκε 1086 φορές

Λήμμα : Η ευθεία T'S

είναι παράλληλη προς το τμήμα

και τα

σημεία της , από τα οποία το

βρίσκεται

πλησιέστερα προς την μεσοκάθετο του

απ' ότι το

. Να εξετασθεί αν είναι : BT'+T'A >BS+SA

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 30, 2025 9:55 am**

Έστω

αρχή των αξόνων το μέσο του

.

Αρκεί να δειχθεί ότι η έλλειψη με εστίες τα A,B

που διέρχεται από το S(s,w)

έχει μικρότερο μεγάλο άξονα από την έλλειψη με ίδιες εστίες που διέρχεται από το T'(t,w)

.

Έστω $\dfrac{x^2}{a_{1}^2}+\dfrac{y^2}{a_{1}^2-c^2}=1, \dfrac{x^2}{a_{2}^2}+\dfrac{y^2}{a_{2}^2-c^2}=1$ οι δύο ελλείψεις.

Είναι:

$\dfrac{s^2}{a_{1}^2}+\dfrac{w^2}{a_{1}^2-c^2}=1, \dfrac{t^2}{a_{2}^2}+\dfrac{w^2}{a_{2}^2-c^2}=1$ .

Αν $a_{2}\le a_{1}$ , τότε $1-\dfrac{w^2}{a_{1}^2-c^2}\ge 1-\dfrac{w^2}{a_{2}^2-c^2}\Rightarrow \dfrac{s^2}{a_{1}^2}\ge \dfrac{t^2}{a_{2}^2}$ ,

άτοπο, διότι $\left| s \right|< \left| t \right|$ .

Τελικά, $a_{2}> a_{1}$ και η πράσινη γραμμή μεγαλύτερη από την κόκκινη.

mathematica.gr

Πάνω στράτα ή κάτω στράτα ;

Πάνω στράτα ή κάτω στράτα ;

Re: Πάνω στράτα ή κάτω στράτα ;

Re: Πάνω στράτα ή κάτω στράτα ;

Re: Πάνω στράτα ή κάτω στράτα ;

Re: Πάνω στράτα ή κάτω στράτα ;