mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 02, 2025 7:13 am**

: Εννιάρι.png (5.05 KiB) Προβλήθηκε 1402 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

, το οποίο απαρτίζεται από δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα ,

έχει εμβαδόν

. Αν είναι γνωστή η πλευρά

, υπολογίστε την πλευρά

.

Υπάρχει περίπτωση οι πλευρές AB , AD

, να έχουν και οι δύο ακέραια μήκη ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 02, 2025 9:22 am**

Εμφανίστηκε κάποιο τεχνικό πρόβλημα οπότε ξαναγράφω την λύση από κάτω.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 02, 2025 9:25 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 02, 2025 7:13 am Εννιάρι.pngΤο τετράπλευρο , το οποίο απαρτίζεται από δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα ,

έχει εμβαδόν . Αν είναι γνωστή η πλευρά , υπολογίστε την πλευρά .

Υπάρχει περίπτωση οι πλευρές , να έχουν και οι δύο ακέραια μήκη ;

Αν $AB=a, \, AD=b$ τότε $BD=\sqrt {a^2+b^2}$ . Από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε $\displaystyle{\dfrac {b}{a} = \dfrac {\sqrt {a^2+b^2} }{BC}}$ , οπότε $BC= \dfrac {a}{b} \sqrt {a^2+b^2}$ . H συνθήκη του εμβαδού τώρα γράφεται

$\dfrac {1}{2}ab + \dfrac {1}{2}\cdot \sqrt {a^2+b^2}\cdot \dfrac {a}{b} \sqrt {a^2+b^2}=9$ , ισοδύναμα $ab + \dfrac {1}{2}\dfrac {a^3}{b} =9 \,(*)$ .

Θα εξετάσουμε την εξίσωση στους ακεραίους.

Από την $x^2+y^2\ge 2xy$ η προηγούμενη δίνει $9\ge 2\sqrt {ab \cdot \dfrac {1}{2}\dfrac {a^3}{b}}= \sqrt 2a^2$ .

Έπεται, στους ακεραίους, a=1

ή

. Οπότε η

γίνεται $b +\dfrac {1}{2b} =9$ ή $2b + \dfrac {4}{b} =9$

H πρώτη αποκλείεται γιατί το αριστερό μέλος δεν είναι ακέραιος ενώ το δεξί είναι ακέραιος. Η δεύτερη δίνει ότι τα πιθανά

είναι οι διαιρέτες του

, δηλαδή κάποιος από τους 1,2,4

. Με δοκιμές, από αυτά τα

μόνο το

ικανοποιεί την εξίσωση (διόρθωσα λογιστικό σφάλμα που μου υπέδειξε ο θεματοθέτης Θανάσης: Τον ευχαριστώ θερμά.) Άρα η μόνη λύση είναι η $a=2,\, b=4$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 02, 2025 12:33 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 02, 2025 7:13 am Εννιάρι.pngΤο τετράπλευρο , το οποίο απαρτίζεται από δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα ,

έχει εμβαδόν . Αν είναι γνωστή η πλευρά , υπολογίστε την πλευρά .

Υπάρχει περίπτωση οι πλευρές , να έχουν και οι δύο ακέραια μήκη ;

Ισχύει $2(ADB)+(EBC)=9\Rightarrow mx+ \dfrac{ym}{2} =9 (1)$ και $m^2=xy \Rightarrow y= \dfrac{m^2}{x} (2)$

Η (1)

με βάση τη (2)

δίνει την εξίσωση 2mx^2-18x+m^3=0

με $\Delta =324-8m^4 \geq 0 \Rightarrow 1\leq m \leq \dfrac{3}{ \sqrt[4]{2} }$

Οι μόνες ακέραιες τιμές του

είναι

κι εύκολα διαπιστώνουμε ότι για $m=2 \Rightarrow x=4$

: Εννιάρι.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 1360 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 02, 2025 1:04 pm**

Και στις δύο παραπάνω λύσεις δεν ολοκληρώθηκε η λύση της εξίσωσης ( δηλαδή ή εύρεση του

) .

Με τον τελευταίο συμβολισμό , είναι : $x=\dfrac{9+\sqrt{81-2m^4}}{2m}$ .

Γιατί άραγε απορρίψαμε την λύση : $x=\dfrac{9-\sqrt{81-2m^4}}{2m}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 02, 2025 1:15 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 02, 2025 1:04 pm Και στις δύο παραπάνω λύσεις δεν ολοκληρώθηκε η λύση της εξίσωσης ( δηλαδή ή εύρεση του ) .

Θανάση, δεν καταλαβαίνω τι εννοείς.

Έδειξα παραπάνω ότι AB=a=1

ή

και με χρήση αυτού ότι AD= b=1

ή

. Κατόπιν απέρριψα όλες πλην της a=2, b=4

που ικανοποιεί.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 02, 2025 4:06 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 02, 2025 1:04 pm Και στις δύο παραπάνω λύσεις δεν ολοκληρώθηκε η λύση της εξίσωσης ( δηλαδή ή εύρεση του ) .

Με τον τελευταίο συμβολισμό , είναι : $x=\dfrac{9+\sqrt{81-2m^4}}{2m}$ .

Γιατί άραγε απορρίψαμε την λύση : $x=\dfrac{9-\sqrt{81-2m^4}}{2m}$ ;

Σε προσωπικό μήνυμα ο θεματοθέτης, ο Θανάσης, μου διευκρίνισε ότι δεν βρήκα το

συναρτήσει του

, αλλά πήγα απευθείας στα ακέραια a,b

.

Επί της ουσίας έχει δίκιο. Παράλλειψη μου αν και γράφω την εξίσωση

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιούλ 02, 2025 9:25 am ... ισοδύναμα $ab + \dfrac {1}{2}\dfrac {a^3}{b} =9 \,(*)$ .

η οποία είναι ένα τετριμμένο βήμα από την απάντηση. Όπως και να είναι, συμπληρώνω: Εδώ ισοδύναμα έχουμε την δευτεροβάθμια 2ab^2-18b+a^3=0

οπότε

$b= \dfrac {9\pm \sqrt {81-2a^4} }{2a}$

και θέλουμε 81-2a^4>0

, εδώ $0<a< \dfrac {3}{\sqrt [4] 2}$ (αφού μιλάμε για μήκη). Γι' αυτές τις τιμές του

έχουμε αυτόματα $9= \sqrt {81} >\pm \sqrt {81-2a^4}$ , δηλαδή b>0

, οπότε ολοκληρώνεται το θέμα.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 02, 2025 4:34 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 02, 2025 1:04 pm Και στις δύο παραπάνω λύσεις δεν ολοκληρώθηκε η λύση της εξίσωσης ( δηλαδή ή εύρεση του ) .

Με τον τελευταίο συμβολισμό , είναι : $x=\dfrac{9+\sqrt{81-2m^4}}{2m}$ .

Γιατί άραγε απορρίψαμε την λύση : $x=\dfrac{9-\sqrt{81-2m^4}}{2m}$ ;

Θεώρησα αυτονόητο ότι οι δυο λύσεις της δευτεροβάθμιας είναι αυτές που αναφέρει ο Θανάσης και μάλιστα με τον

περιορισμό που έθεσα είναι και οι δυο θετικές.

Δεν απέρριψα καμιά λύση, απλά για m=2