mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 10, 2025 9:37 pm**

: Διπλάσιο τμήμα.png (21.18 KiB) Προβλήθηκε 1113 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB

, η χορδή

είναι παράλληλη προς την ακτίνα

.

Αν

είναι το μέσο του τμήματος

, δείξτε ότι : AP=2OM

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 10, 2025 10:02 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 10, 2025 9:37 pm Στο ημικύκλιο διαμέτρου , η χορδή είναι παράλληλη προς την ακτίνα .

Αν είναι το μέσο του τμήματος , δείξτε ότι : .

.

: diplasio tmima.png (24.11 KiB) Προβλήθηκε 1109 φορές

.
Προεκτείνουμε την

μέχρι να τμήσει τον κύκλο ξανά στο (αντιδιαμετρικό) σημείο

. Τότε η

συνδέει τα μέσα των PT, SP

.

Αφού AS//TP

, το

είναι προφανώς ισοσκελές τραπέζιο. Άρα AP=ST=2OM

, όπως θέλαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 10, 2025 11:02 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 10, 2025 9:37 pm Διπλάσιο τμήμα.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , η χορδή είναι παράλληλη προς την ακτίνα .

Αν είναι το μέσο του τμήματος , δείξτε ότι : .

.

: diplasio tmima 2.png (25.13 KiB) Προβλήθηκε 1096 φορές

Αλλιώς:

Επειδή το

είναι μέσον της χορδής, έχουμε $OM\perp SM$ και $\widehat {SOM}= \widehat {MOP}= \theta$ . Άρα

$\widehat {PAO}=\widehat {APO}= \widehat {SAP}= \frac{1}{2} \widehat {SOP}=\theta$

Συνεπώς τα τρίγωνα $APB, \, OMP$ είναι όμοια, οπότε ως προς την ακτίνα

του ημικυκλίου έχουμε

$\dfrac {AP}{OM}= \dfrac {AB}{OP}=\dfrac {2R}{R}=2$ , από όπου το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 10, 2025 11:26 pm**

Λόγω

στην ημιευθεία

υπάρχει σημείο

ώστε

παραλληλόγραμμο.
Τότε QP=SO=R=OA

οποτε

ισοσκελές τραπέζιο.
Τελικά 2OM=QO=PA

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 11, 2025 12:11 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 10, 2025 9:37 pm Διπλάσιο τμήμα.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , η χορδή είναι παράλληλη προς την ακτίνα .

Αν είναι το μέσο του τμήματος , δείξτε ότι : .

: Διπλάσιο τμήμα.png (39.23 KiB) Προβλήθηκε 1077 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 11, 2025 12:12 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 10, 2025 9:37 pm Διπλάσιο τμήμα.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , η χορδή είναι παράλληλη προς την ακτίνα .

Αν είναι το μέσο του τμήματος , δείξτε ότι : .

Προφανής είναι η ισότητα των κόκκινων γωνιών.Άρα PS=PB

οπότε

κι επειδή

θα είναι

: Διπλάσιο τμήμα.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 1076 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 11, 2025 12:15 am**

Dimessi έγραψε: Πέμ Ιούλ 10, 2025 11:26 pm Λόγω στην ημιευθεία υπάρχει σημείο ώστε παραλληλόγραμμο.
Τότε οποτε ισοσκελές τραπέζιο.
Τελικά

.
Για να διευκολύνω τους μαθητές μας, ιδίως διότι η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου, επισυνάπτω το σχήμα στην λύση του Δημήτρη.
.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 11, 2025 12:16 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 10, 2025 9:37 pm Στο ημικύκλιο διαμέτρου , η χορδή είναι παράλληλη προς την ακτίνα .

Αν είναι το μέσο του τμήματος , δείξτε ότι : .

: shape.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

mathematica.gr

Διπλάσιο τμήμα

Διπλάσιο τμήμα

Re: Διπλάσιο τμήμα

Re: Διπλάσιο τμήμα

Re: Διπλάσιο τμήμα

Re: Διπλάσιο τμήμα

Re: Διπλάσιο τμήμα

Re: Διπλάσιο τμήμα

Re: Διπλάσιο τμήμα