mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 20, 2025 9:46 am**

: eptagono.png (21.78 KiB) Προβλήθηκε 1327 φορές

.
Έστω

επτάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Έστω ακόμη ότι το κέντρο του κύκλου είναι εσωτερικό σημείο του επταγώνου (όπως στο σχήμα) ή στην περίμετρο (πάντως όχι εξωτερικό του επταγώνου).

α) Δείξτε ότι $\angle A + \angle C +\angle E \le 450^o$ .

β) Δώστε παράδειγμα εγγεγραμμένου επταγώνου ως άνω όπου το εν λόγω άθροισμα $\angle A + \angle C +\angle E = 450^o$ .

γ) Δώστε παράδειγμα κυρτού επταγώνου όπου το εν λόγω άθροισμα $\angle A + \angle C +\angle E > 450^o$ .

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.)

Edit αργότερα: Πρόσθεσα την συνθήκη που έγραψα με κόκκινο. Βλέπε την παρακάτω συζήτηση. Ευχαριστώ τον αρψ2400 για την επισήμανση του σφάλματός μου.

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 20, 2025 10:00 pm**

Το α) δεν ισχύει χωρίς κάποια άλλη (επιπρόσθετη) συνθήκη.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 20, 2025 10:18 pm**

αρψ2400 έγραψε: Κυρ Ιούλ 20, 2025 10:00 pm Το α) δεν ισχύει χωρίς κάποια άλλη (επιπρόσθετη) συνθήκη.

To εννοώ κυρτό. Ισοδύναμα, μη αυτοτεμνόμενο.

Στην τάξη που απευθύνεται η άσκηση, όταν λέμε πολύγωνο, εννοούμε ότι δεν αυτοτέμνεται. Αντιθέτως, όταν θέλουμε να επιτρέψουμε να αυτοτέμνεται ένα πολύγωνο, το δηλώνουμε ρητά. Για παράδειγμα, στα Στοιχεία του Ευκλείδη, ποτέ μα ποτέ δεν εμφανίζεται αυτοτεμνόμενο πολύγωνο, παρ' όλο που μελετά συστηματικά τα πολύγωνα και ποτέ δεν δηλώνεται ότι δεν αυτοτέμνεται. Τέτοια περίπτωση εννοείται στην άσκηση.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 20, 2025 10:28 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Ιούλ 20, 2025 10:18 pm
αρψ2400 έγραψε: Κυρ Ιούλ 20, 2025 10:00 pm Το α) δεν ισχύει χωρίς κάποια άλλη (επιπρόσθετη) συνθήκη.
To εννοώ κυρτό. Ισοδύναμα, μη αυτοτεμνόμενο.

Στην τάξη που απευθύνεται η άσκηση, όταν λέμε πολύγωνο, εννοούμε ότι δεν αυτοτέμνεται. Αντιθέτως, όταν θέλουμε να επιτρέψουμε να αυτοτέμνεται ένα πολύγωνο, το δηλώνουμε ρητά. Για παράδειγμα, στα Στοιχεία του Ευκλείδη, ποτέ μα ποτέ δεν εμφανίζεται αυτοτεμνόμενο πολύγωνο, παρ' όλο που μελετά συστηματικά τα πολύγωνα και ποτέ δεν δηλώνεται ότι δεν αυτοτέμνεται. Τέτοια περίπτωση εννοείται στην άσκηση.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 20, 2025 10:53 pm**

Έχεις δίκιο. Mea culpa.

Ξέχασα να προσθέσω την συνθήκη ότι το κέντρο του κύκλου είναι εσωτερικό σημείο του επταγώνου.

Το προσθέτω στην εκφώνηση.

Ευχαριστώ για την επισήμανση.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 20, 2025 11:07 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Ιούλ 20, 2025 10:53 pm Έχεις δίκιο. Mea culpa.

Ξέχασα να προσθέσω την συνθήκη ότι το κέντρο του κύκλου είναι εσωτερικό σημείο του επταγώνου.

Το προσθέτω στην εκφώνηση.

Ευχαριστώ για την επισήμανση.

Παρακαλώ.Είναι ωραία άσκηση και μέσα στην ύλη της Β Γυμνασίου.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 16, 2025 10:54 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Ιούλ 20, 2025 9:46 am eptagono.png
.
Έστω επτάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Έστω ακόμη ότι το κέντρο του κύκλου είναι εσωτερικό σημείο του επταγώνου (όπως στο σχήμα) ή στην περίμετρο (πάντως όχι εξωτερικό του επταγώνου).

α) Δείξτε ότι $\angle A + \angle C +\angle E \le 450^o$ .

β) Δώστε παράδειγμα εγγεγραμμένου επταγώνου ως άνω όπου το εν λόγω άθροισμα $\angle A + \angle C +\angle E = 450^o$ .

γ) Δώστε παράδειγμα κυρτού επταγώνου όπου το εν λόγω άθροισμα $\angle A + \angle C +\angle E > 450^o$ .

.

: eptagono 2.png (29.68 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

.
α) H εξωτερική γωνία $\widehat {GOB} = 2A$ , οπότε O_1=360-2A

. Όμοια $O_2=360-2C, \, O_3=360-2E$ . Επίσης, επειδή

είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου (διότι το

είναι εσωτερικό ή στην περίμετρο του επταγώνου), είναι $\widehat {GOF} \le 180$ . Άρα

$O_1+O_2+O_3 = 360- \widehat {GOF} \ge 360-180 = 180$ . Ισοδύναμα

$(360-2A)+(360-2C)+(360-2E) \ge 180$ , από όπου $A+C+E \le 450$ , όπως θέλαμε.

Το β) είναι τώρα εύκολο, παίρνοντας $\widehat {GOF} = 180$ , δηλαδή η

να είναι διάμετρος. Το γ) υπάρχει στα παραπάνω.

mathematica.gr

Γωνίες επταγώνου

Γωνίες επταγώνου

Re: Γωνίες επταγώνου

Re: Γωνίες επταγώνου

Re: Γωνίες επταγώνου

Re: Γωνίες επταγώνου

Re: Γωνίες επταγώνου

Re: Γωνίες επταγώνου