mathematica.gr

Έστω ABCD ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μπορείτε να το χωρίσετε σε πέντε ,διαφορετικά ανά δύο ,ισοσκελή τρίγωνα; (Η ένωση των τριγώνων πρέπει να δίνει το ABCD).

Θεωρούμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο τέτοιο ώστε
(Η εκδοχή έχει απαντηθεί εδώ)

Σε πρώτη φάση θα εκτελέσουμε την ακόλουθη κατασκευή:

Στο εσωτερικό του θεωρούμε το μοναδικό σημείο για το οποίο
Κατόπιν θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων οπότε σχηματίζονται πέντε ισοσκελή τρίγωνα
(αριθμημένα ως στο ακόλουθο σχήμα)
Ισχύουν τα ακόλουθα:

(το τρίγωνο έχει μεγαλύτερη βάση)
(το τρίγωνο έχει μεγαλύτερα σκέλη)

(γιατί σε διαφορετική περίπτωση οπότε άτοπο)
(γιατί σε διαφορετική περίπτωση ισόπλευρο οπότε αφ' ενός και αφ' ετέρου οπότε και συνεπώς άτοπο)
ισόπλευρο

ισόπλευρο
(για τον ίδιο λόγο που )

ισοσκελές

Σε αυτό το σημείο μπορεί να δοθεί απάντηση στο πρόβλημα.

#1. Αν η παραπάνω διαμέριση του ορθογωνίου είναι μια αποδεκτή λύση για το δοθέν πρόβλημα γιατί τα πέντε τρίγωνα της διαμέρισης είναι διαφορετικά ανά δυο.

#2. Αν ένας τρόπος να διαμεριστεί το ορθογώνιο είναι ο εξής:

#3. Αν ένας τρόπος να διαμεριστεί το ορθογώνιο είναι ο εξής:

Η συζήτηση ''τομές σε τετράγωνο'' προέκυψε ως ειδική περίπτωση της παρούσας άρα θα έπρεπε να αναρτηθεί πρώτη ή καθόλου.Ευτυχώς ο κύριος KARKAR απάντησε πρώτα το ''τομές σε τετράγωνο'' .Ευχαριστώ τον κύριο Κωνσταντόπουλο για την προσεκτική , πλήρη λύση του προβλήματος .Με την ευκαιρία να πω ότι η ΑΙ που θα έπαιρνε μετάλιο JBMO δεν μπορεί να απαντήσει ούτε καν σε κάποια ειδική περίπτωση.Για την ακρίβεια γράφουν ''άλλα ντ' άλλον'' .Η καλύτερη απάντηση που πήρα είναι ότι δεν είναι εφικτός ο διαμερισμός για το τετράγωνο.(Πήρα την απάντηση ,''όχι δεν είναι εφικτός ''από το grok4. Δεν είναι δωρεαν η παράθεση της συλλογιστικής για το συγκεκριμένο μοντέλο γι αυτό και λέω ότι ήταν η καλύτερη.)