mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 14, 2025 4:17 pm**

: Ικανή απόσταση.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Από σημείο

, εξωτερικό κύκλου (O,r)

, φέρουμε το ένα εφαπτόμενο τμήμα

και από το μέσο του , το

,

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα

. Η

ξανατέμνει τον κύκλο στο

. Υπολογίστε το μέγιστο του (QPM)

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 14, 2025 11:47 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 14, 2025 4:17 pm Από σημείο , εξωτερικό κύκλου , φέρουμε το ένα εφαπτόμενο τμήμα και από το μέσο του , το ,

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . Η ξανατέμνει τον κύκλο στο . Υπολογίστε το μέγιστο του .

: ikani apost.png (44.31 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές

.
Επειδή οι MP, MT

είναι εφαπτόμενες του κύκλου, έχουμε MP=MT=MS

, οπότε το τρίγωνο TPS

είναι ορθογώνιο με ορθή την $\widehat {P}$ . Άρα $\widehat {QPT}=90 ^o$ , που σημαίνει ότι η

είναι διάμετρος και άρα διέρχεται από το κέντρο

Του κύκλου. Συνεπώς η

είναι παράλληλη της

διότι συνδέει τα μέσα των πλευρών του TQS

. Άρα (αυτό είνα το κλειδί)

$(QPM)=(OPQ)=\dfrac {1}{2}r^2 \sin (\widehat {QOP})\le \dfrac {1}{2}r^2$ με ισότητα όταν $\widehat {QOP}=90^o$ .

Συνοψίζοντας $\boxed {(QPM)_{max} = \dfrac {1}{2}r^2 }$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 15, 2025 2:30 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 14, 2025 4:17 pm Ικανή απόσταση.pngΑπό σημείο , εξωτερικό κύκλου , φέρουμε το ένα εφαπτόμενο τμήμα και από το μέσο του , το ,

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . Η ξανατέμνει τον κύκλο στο . Υπολογίστε το μέγιστο του .

Είναι

άρα η γωνία QPT

είναι ορθή,συνεπώς T,O,Q

συνευθειακά

Επειδή OT=OP=r

και

η

είναι μεσοκάθετη

της

άρα

κι έστω

$(MQP)=max \Leftrightarrow (MQP)^2=max \Rightarrow$

$(MQP)^2= \dfrac{x^2.PQ^2}{4} = \dfrac{x^2(4r^2-4x^2)}{4}=x^2(r^2-x^2)$

Επειδή x^2+r^2-x^2=r^2=ct