mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 20, 2025 5:28 pm**

Δίνονται $0<\alpha\in\mathbb{R}$ και η συνάρτηση

η οποία έχει σε κάποιο ανοιχτό διάστημα που περιέχει το x_0=0

παραγώγους οποιασδήποτε τάξης.

Έστω επίσης ότι f(0)=0

και $f^\prime(0)=1$

Θεωρούμε το όριο
$\ell_\alpha=\lim\limits_{x\to0^+}\left[\frac{1}{x^\alpha}-\frac{1}{f(x)^\alpha}\right]$

Να αποδειχθεί ότι:

$\bullet$ Αν $f^{(m)}(0)=0$ για κάθε φυσικό m>1

τότε $\ell_\alpha=0$

$\bullet$ Σε αντίθετη περίπτωση έστω m_0

ο ελάχιστος φυσικός αριθμός με m_0>1

και $f^{(m_0)}(0)\ne0$

Να υπολογιστεί το $\ell_\alpha$ για όλες τις περιπτώσεις των $\alpha,m_0$

mathematica.gr

Μελέτη Ορίου VI - terminus

Μελέτη Ορίου VI - terminus