mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 26, 2025 6:06 am**

: Διχοτόμηση τραπεζίου.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Στο ισοσκελές τραπέζιο ABCD

του σχήματος , βρείτε σημείο

της

, τέτοιο ώστε :

$(ABCS)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ . Αν δεν το έχετε κάνει ήδη , υπολογίστε και το μήκος του

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 26, 2025 9:35 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 26, 2025 6:06 am Στο ισοσκελές τραπέζιο του σχήματος , βρείτε σημείο της , τέτοιο ώστε :

$(ABCS)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ . Αν δεν το έχετε κάνει ήδη , υπολογίστε και το μήκος του .

: dih trap.png (21.57 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Το ύψος του τραπεζίου είναι $h=\sqrt {4^2-2^2}=2\sqrt 3$ , οπότε το εμβαδόν του είναι $\dfrac {1}{2}(8+4)\cdot 2\sqrt 3= 12\sqrt 3$ . Άρα θέλουμε το ASD

να έχει εμβαδόν $6\sqrt3$ , και άρα ύψος $k=\dfrac {3}{2} \sqrt 3$ .

Από τα όμοια τρίγωνα CED,SFD

έχουμε $\dfrac {h}{k}=\dfrac {2}{FD}$ , άρα $FD=\dfrac {3}{2}$ , οπότε $AF=AD-FD=\dfrac {13}{2}$ . Τέλος , από το ορθογώνιο τρίγωνο ASD

είναι $AS=\sqrt {AF^2+k^2}=7$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 26, 2025 9:43 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 26, 2025 6:06 am Διχοτόμηση τραπεζίου.pngΣτο ισοσκελές τραπέζιο του σχήματος , βρείτε σημείο της , τέτοιο ώστε :

$(ABCS)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ . Αν δεν το έχετε κάνει ήδη , υπολογίστε και το μήκος του .

Αλλιώς. Αν CM//AB,

τότε προφανώς το AMCB

είναι ρόμβος και το CMD

ισόπλευρο τρίγωνο.

Άρα το ύψος του τραπεζίου είναι ίσο με το ύψος $2\sqrt 3$ του ισοπλεύρου. Από τη σχέση των εμβαδών είναι:

: Διχοτόμηση τραπεζίου.png (11.72 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

$\displaystyle \frac{1}{2}8DS\sin 60^\circ = \frac{1}{4}12 \cdot 2\sqrt 3,$ απ' όπου $\boxed{DS=3}$

Με νόμο συνημιτόνου τώρα στο ASD

βρίσκω $\boxed{AS=7}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 26, 2025 3:20 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 26, 2025 6:06 am Διχοτόμηση τραπεζίου.pngΣτο ισοσκελές τραπέζιο του σχήματος , βρείτε σημείο της , τέτοιο ώστε :

$(ABCS)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ . Αν δεν το έχετε κάνει ήδη , υπολογίστε και το μήκος του .

Το τετράπλευρο ABCD

είναι κανονικό ημιεξάγωνο ακτίνας R = 4

.

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

είναι παράλληλη της

και συναντά την

στο

.

Συνεπώς το $\left( {ABCD} \right) = \left( {ADT} \right)\,\,\,\left( 1 \right)$ και αναγκαστικά θα είναι : $DS = 3,\,\,SC = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = 2$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο CAD

έχω $AC = 4\sqrt 3 \,\,$ (ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς

)

: Διχοτόμηση τραπεζίου_new.png (33.88 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

ενώ από το Π. Θ. στο $\vartriangle CTA$ , προκύπτει : $AT = 2\sqrt {13}$ .

Από το $\vartriangle CAS$ , $AS = \sqrt {{1^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 7$ . Προφανώς αφού ST = SD = 3

και λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\left( {SAD} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {ABCD} \right)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 26, 2025 3:58 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 26, 2025 6:06 am Στο ισοσκελές τραπέζιο του σχήματος , βρείτε σημείο της , τέτοιο ώστε :

$(ABCS)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ . Αν δεν το έχετε κάνει ήδη , υπολογίστε και το μήκος του .

.

: dihot trap.png (28.24 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

.
Για ώφελος των μαθητών, δεν χάνουμε να ξαναδούμε μία κλασική κατασκευή που διχοτομεί οποιοδήποτε τετράπλευρο, όχι κατ' ανάγκη τραπέζιο:

Φέρνουμε από το

παράλληλο της διαγωνίου

, ή οποία έστω ότι τέμνει την προέκταση της

στο

, οπότε

. Το μέσον

της

είναι το ζητούμενο σημείο

, αφού $(ASD)= \dfrac {1}{2} (AED)$ .

Υπόψη ότι αν ξεκινάγαμε με το δοθέν ισοσκελές τραπέζιο, ο υπολογισμός του

που ζητά η άσκηση, είναι προσιτός (το αφήνω).

mathematica.gr

Διχοτόμηση τραπεζίου

Διχοτόμηση τραπεζίου

Re: Διχοτόμηση τραπεζίου

Re: Διχοτόμηση τραπεζίου

Re: Διχοτόμηση τραπεζίου

Re: Διχοτόμηση τραπεζίου