mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 27, 2025 6:30 pm**

: Δυσπρόσιτο μέσο.png (11.97 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Στο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο ABC

του σχήματος , εντοπίστε σημείο

στην προέκταση της υποτείνουσας

,

τέτοιο ώστε , αν για το σημείο

της

είναι

, το μέσο

της

να είναι σημείο της

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 28, 2025 12:36 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 27, 2025 6:30 pm Στο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , εντοπίστε σημείο στην προέκταση της υποτείνουσας ,

τέτοιο ώστε , αν για το σημείο της είναι , το μέσο της να είναι σημείο της .

.

: dispr.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

.
Θέτουμε AB=b

, οπότε $BC= \dfrac {b}{\cos 30}= \dfrac {2b}{\sqrt 3}$ . Έστω ότι βρήκαμε τις θέσεις των S,T

έτσι ώστε $ST=BC=\dfrac {2b}{\sqrt 3}$ και το μέσον

της

είναι επί της

. Τότε αν

η προβολή του

στην

, θα έχουμε TA=AD =x

, το οποίο

ψάχνουμε να βρούμε.

Είναι $SD= BD\tan 30= (DA+AD) \tan 30 = (b+x) \dfrac {\sqrt 3}{3}$ . Από το Πυθαγόρειο στο TDS

έχουμε

, που σημαίνει

$(2x)^2+\left ((b+x) \dfrac {\sqrt 3}{3} \right ) ^2= \left (\dfrac {2b}{\sqrt 3} \right ) ^2$ . Λύνοντας θα βρούμε $\boxed {x= \dfrac {1}{13}(-1+2\sqrt {10})b}$ .

Τώρα δουλεύουμε ανάποδα: Αφού βρούμε το

από την

, ορίζουμε το

ως

και ορίζουμε το

ως την τομή της

και της καθέτου στο

. Τα παραπάνω μα εξασφαλίζουν ότι ST=BC

και ότι το μέσον της

είναι κάθετα πάνω από το

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 29, 2025 1:02 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 27, 2025 6:30 pm Δυσπρόσιτο μέσο.pngΣτο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , εντοπίστε σημείο στην προέκταση της υποτείνουσας ,

τέτοιο ώστε , αν για το σημείο της είναι , το μέσο της να είναι σημείο της .

Υπόδειξη

Έστω λυμένο το πρόβλημα.

Θέτω MC = k

. Φέρνω στο

επί την

που τέμνει την

στο

, Ας είναι ακόμα BT = m

.

Θα ισχύουν : $ET = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = \sqrt {16{k^2} - 4{k^2}} = 2\sqrt 3 k$ . Ο λόγος $\dfrac{{BT}}{{MC}} = 2\sqrt 3$ και σύμφωνα με τα σημεία

(Θέμα

- Αρίστου Δημητρίου) , οι κύκλοι $\left( {A,B,C} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {A,T,M} \right)$ τέμνονται σε σταθερό σημείο

και ισχύει :

$\dfrac{{PB}}{{PC}} = 2\sqrt 3$ .

: Δυσπρόσιτο μέσο_Petersen.png (40.34 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές

Κατασκευή

Με τη βοήθεια του κύκλου του Απολλώνιου προσδιορίζω τα $P\,\,,\,\,Q$ που τέμνονται οι κύκλοι , $\left( {A,B\,,\,C} \right)$ και ο

Απολλώνιος που προανέφερα . Η

τέμνει την

στο

και ο κύκλος , $\left( {P,A,M} \right)$ την

ακόμα στο ,

mathematica.gr

Δυσπρόσιτο μέσο

Δυσπρόσιτο μέσο

Re: Δυσπρόσιτο μέσο

Re: Δυσπρόσιτο μέσο