mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 24, 2025 7:16 pm**

: 1,2,3,4.png (8.93 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου ABC

,

τέμνονται στο σημείο

. Αν :

, υπολογίστε το $\cos \hat{B}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 24, 2025 8:19 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 24, 2025 7:16 pm 1,2,3,4.pngΟι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου ,

τέμνονται στο σημείο . Αν : , υπολογίστε το $\cos \hat{B}$ .

Για το ύψος

του τριγώνου SAC

έχουμε $SA \sin 45 = h= SB\sin \dfrac {B}{2} = 2SA \sin \dfrac {B}{2}$ (το ίδιο συμπέρασμα βγαίνει από τον Νόμο των ημητόνων στο ίδιο τρίγωνο) .

Άρα $\sin 45 = 2 \sin \dfrac {B}{2}$ ισοδύναμα $\sin \dfrac {B}{2}= \dfrac {\sqrt 2}{4}$ .

Συμπεραίνουμε ότι $\cos B = 1- 2 \sin ^2 \dfrac {B}{2}= \dfrac {3}{4}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 25, 2025 12:58 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 24, 2025 7:16 pm 1,2,3,4.pngΟι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου ,

τέμνονται στο σημείο . Αν : , υπολογίστε το $\cos \hat{B}$ .

Από Π.Θ στα ορθογώνια τρίγωνα ASD,BDS

παίρνουμε εύκολα $DS= \dfrac{x \sqrt{2} }{2} ,DB= \dfrac{x \sqrt{7} }{ \sqrt{2} }$

Έτσι, $cos \dfrac{B}{2}= \dfrac{ \sqrt{7} }{2 \sqrt{2} }$ κι από $cosB=2cos^2 \dfrac{B}{2} -1 \Rightarrow cosB= \dfrac{3}{4}$

: 1,2,3,4.png (25.98 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 25, 2025 10:44 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 24, 2025 7:16 pm 1,2,3,4.pngΟι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου ,

τέμνονται στο σημείο . Αν : , υπολογίστε το $\cos \hat{B}$ .

Λύση εκτός φακέλου

Κατασκευή

Έστω γωνία $\widehat {BAy} = 45^\circ$ με AB = 3m

. Γράφω τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο

του οποίου , MB = 2MA

.

Ο κύκλος αυτός τέμνει την

στο

και θα ισχύει , SB = 2SA

.

Η κάθετη στο

επί την

, με την συμμετρική της

ως προς την

,τέμνονται στο

. Το $\vartriangle ABC$ είναι το της εκφώνησης .

: 1 2 3 4_ok.png (32.67 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Αν τώρα η

είναι εσωτερική διχοτόμος του $\vartriangle SAB$ , θα είναι: $DB = 2m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = m$ .

Με

το κέντρο του Απολλώνιου κύκλου και

το αντιδιαμετρικό του

σ αυτό, η τετράδα :

$\left( {A,B\backslash E,D} \right)$ είναι αρμονική οπότε , $AK = m\,\,,\,AE = 3m$ και άρα , $EK = DB = 2m\,\,,\,\,AE = AB = 3m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KB = BC = 4m\,\,$ .

Ετσι , $\boxed{\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{4}}$

mathematica.gr

1,2,3,4

1,2,3,4

Re: 1,2,3,4

Re: 1,2,3,4

Re: 1,2,3,4