mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 07, 2025 9:35 pm**

Εστω οι πραγματικοί x,y

που ικανοποιούν την x^4+y^4=x+y+1

Να δείξετε ότι $x^2+y^2< \frac{11}{4}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 07, 2025 10:14 pm**

Από Hölder έχουμε 2 ανισόητες: $8(x^{4}+y^{4})\geq (x+y)^{4}$ και $2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$

Από υπόθεση αυτές γίνονται $8x+8y+8\geq (x+y)^{4}$ (1) και $2x+2y+2\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$ (2)

Η (1) με θέσιμο u=x+y

δίνει $u^{4}-8u-8\leq 0$

Αν $u \geq 2,5$ έχουμε $u^{4}-8u-8 > 0$ αφού το δεξί μέλος είναι θετικό για u=2,5

και η παράγωγός του είναι θετική για $u \geq 2,5$
*Θα υπάρχει και πιο στοιχειώδης τρόπος να αποδειχθεί για να είναι επίπεδο juniors

Άρα πρέπει u<2,5

οπότε λόγω της (2) έχουμε

$(x^{2}+y^{2})^{2} < 7 < \left ( \dfrac{11}{4} \right )^{2}=\dfrac{121}{16}=7,5625$

Το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 07, 2025 10:30 pm**

∫ot.T. έγραψε: Τρί Οκτ 07, 2025 10:14 pm Από Hölder έχουμε 2 ανισόητες: $8(x^{4}+y^{4})\geq (x+y)^{4}$ και $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$

Οι ανισότητες ισχύουν χωρίς να χρειάζεται να είναι θετικά(δεν δίνεται)
Η Hölder ισχύει για θετικά.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 07, 2025 11:59 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τρί Οκτ 07, 2025 10:30 pm
∫ot.T. έγραψε: Τρί Οκτ 07, 2025 10:14 pm Από Hölder έχουμε 2 ανισόητες: $8(x^{4}+y^{4})\geq (x+y)^{4}$ και $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$

Οι ανισότητες ισχύουν χωρίς να χρειάζεται να είναι θετικά(δεν δίνεται)
Η Hölder ισχύει για θετικά.

Δεν είναι άμεση εφαρμογή Hölder αλλά ουσιαστικά αυτή η ανισότητα χρησιμοποιείται.

Γενικά $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (\left | ac\right |+\left | bd\right |)^{2}\geq (ac+bd)^{2}$ όπου η πρώτη ανισότητα ισχύει λόγω Hölder.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 08, 2025 12:29 pm**

∫ot.T. έγραψε: Τρί Οκτ 07, 2025 11:59 pm

Γενικά $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (\left | ac\right |+\left | bd\right |)^{2}\geq (ac+bd)^{2}$ όπου η πρώτη ανισότητα ισχύει λόγω Hölder.

Συνήθως αυτή που γράφεις αναφέρεται σαν C-S

mathematica.gr

Από ισότητα ανισότητα

Από ισότητα ανισότητα

Re: Από ισότητα ανισότητα

Re: Από ισότητα ανισότητα

Re: Από ισότητα ανισότητα

Re: Από ισότητα ανισότητα