mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 13, 2025 8:23 pm**

Δίνονται δυο ακολουθίες ,που ορίζονται ως εξής
a_0=a>0,b_0=b>0

και για

θετικό είναι $a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} ,b_n=\sqrt{a_nb_{n-1}}$ .
Να βρεθούν τα όρια τους αν υπάρχουν.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 13, 2025 9:50 pm**

Πρόκειται για πολύ όμορφο θέμα.
Εξετάστηκε στο mathematica ως προέκταση του τρίτου θέματος των εισαγωγικών εξετάσεων Άλγεβρας των Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π. του 1959.
Η δημοσίευση στον παρακάτω σύνδεσμο
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 34&t=41527

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 13, 2025 11:10 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Οκτ 13, 2025 8:23 pm Δίνονται δυο ακολουθίες ,που ορίζονται ως εξής
και για θετικό είναι $a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} ,b_n=\sqrt{a_nb_{n-1}}$ .
Να βρεθούν τα όρια τους αν υπάρχουν.

Τηλέμαχε,

το θέμα του Ε.Μ.Π που αναφέρεσαι δεν είναι το ίδιο με το ερώτημα του Σταύρου, αλλά είναι παραλλαγή του. Η διαφορά είναι ότι το ένα θέτει $b_n= \sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}$ ενώ το άλλο $b_n= \sqrt {a_{n}b_{n-1}}$ .

Το να αποδείξουμε ότι η ακολουθία του E.M.Π. συγκλίνει είναι άλλη ιστορία. Βλέπε παρακάτω.

Σταύρο,

αν για παράδειγμα είναι a_0 > b_0 >0

τότε εύκολα δείχνουμε επαγωγικά ότι η (a_n)

είναι (γνήσια) φθίνουσα και κάτω φραγμένη από το b_o

και, επίσης, η (b_n)

είναι (γνήσια) αύξουσα και άνω φραγμένη από το a_o

. Συνεπώς και οι δύο συγκλίνουν. Αν τα όριά τους είναι A,B

αντίστοιχα, τότε ισχύει $A= \dfrac {A+B}{2}$ , δηλαδή A=B

.

Τα παραπάνω δείχνουν ότι οι ακολουθίες συγκλίνουν στο ίδιο όριο. Ισχύει το ίδιο για την ακολουθία του Ε.Μ.Π.

Μπορούμε όμως να βρούμε το όριο σε κλειστή μορφή; Για την ακολουθία του E.M.Π. πρόκειται για ένα από τα διαμάντια του Gauss, που οδηγεί σε ελλειπτικό ολοκλήρωμα. Η όλη θεωρία οδηγεί στον κατά Gauss λεγόμενο "αριθμητικογεωμετρικό μέσο", νιά δύσκολη κατάσταση. Βλέπε π.χ. εδώ.

Οπότε θέλω να ρωτήσω: είσαι σίγουρος ότι στην παραλλαγή που θέτεις, μπορούμε να βρούμε το όριο; Εκ πρώτης όψεος μου φαίνεται ότι είναι ίσο με το παραπάνω ελλειπτικό ολοκλήρωμα. Δεν το κοίταξα με προσοχή, αλλά μου φαίνεται σωστό. Γι' αυτό ρωτάω, πριν το ερευνήσω. Εν ολίγοις, υπάρχει προσιτή κλειστή μορφή του ορίου; 'Αλλη από αυτήν που νομίζω;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 14, 2025 1:14 am**

Παλιότερα είχαμε δει αυτό.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 14, 2025 4:57 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Οκτ 13, 2025 11:10 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Οκτ 13, 2025 8:23 pm Δίνονται δυο ακολουθίες ,που ορίζονται ως εξής
και για θετικό είναι $a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} ,b_n=\sqrt{a_nb_{n-1}}$ .
Να βρεθούν τα όρια τους αν υπάρχουν.
Τηλέμαχε,

το θέμα του Ε.Μ.Π που αναφέρεσαι δεν είναι το ίδιο με το ερώτημα του Σταύρου, αλλά είναι παραλλαγή του. Η διαφορά είναι ότι το ένα θέτει $b_n= \sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}$ ενώ το άλλο $b_n= \sqrt {a_{n}b_{n-1}}$ .

Το να αποδείξουμε ότι η ακολουθία του E.M.Π. συγκλίνει είναι άλλη ιστορία. Βλέπε παρακάτω.

Σταύρο,

αν για παράδειγμα είναι τότε εύκολα δείχνουμε επαγωγικά ότι η είναι (γνήσια) φθίνουσα και κάτω φραγμένη από το και, επίσης, η είναι (γνήσια) αύξουσα και άνω φραγμένη από το . Συνεπώς και οι δύο συγκλίνουν. Αν τα όριά τους είναι αντίστοιχα, τότε ισχύει $A= \dfrac {A+B}{2}$ , δηλαδή .

Τα παραπάνω δείχνουν ότι οι ακολουθίες συγκλίνουν στο ίδιο όριο. Ισχύει το ίδιο για την ακολουθία του Ε.Μ.Π.

Μπορούμε όμως να βρούμε το όριο σε κλειστή μορφή; Για την ακολουθία του E.M.Π. πρόκειται για ένα από τα διαμάντια του Gauss, που οδηγεί σε ελλειπτικό ολοκλήρωμα. Η όλη θεωρία οδηγεί στον κατά Gauss λεγόμενο "αριθμητικογεωμετρικό μέσο", νιά δύσκολη κατάσταση. Βλέπε π.χ. εδώ.

Οπότε θέλω να ρωτήσω: είσαι σίγουρος ότι στην παραλλαγή που θέτεις, μπορούμε να βρούμε το όριο; Εκ πρώτης όψεος μου φαίνεται ότι είναι ίσο με το παραπάνω ελλειπτικό ολοκλήρωμα. Δεν το κοίταξα με προσοχή, αλλά μου φαίνεται σωστό. Γι' αυτό ρωτάω, πριν το ερευνήσω. Εν ολίγοις, υπάρχει προσιτή κλειστή μορφή του ορίου; 'Αλλη από αυτήν που νομίζω;

Καλημέρα Μιχάλη.
Ναι τα όρια υπολογίζονται .
Και εμένα μου προκάλεσε έκπληξη.
Αυτά που γράφεις για την άλλη τα γνώριζα.
Με την άλλη μορφή είχα ασχοληθεί ως μαθητής,προφανώς ανεπιτυχώς.
Κυκλοφορούσε με το συμπέρασμα ότι έχουν ίδιο όριο,και προσπαθούσα να το βρω.
Στο πανεπιστήμιο έμαθα την λύση.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 14, 2025 10:53 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Οκτ 13, 2025 11:10 pm
Τηλέμαχε,

το θέμα του Ε.Μ.Π που αναφέρεσαι δεν είναι το ίδιο με το ερώτημα του Σταύρου, αλλά είναι παραλλαγή του. Η διαφορά είναι ότι το ένα θέτει $b_n= \sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}$ ενώ το άλλο $b_n= \sqrt {a_{n}b_{n-1}}$ .

Eδώ πρέπει να απολογηθώ για τη βιασύνη με την οποία είδα το θέμα.

mathematica.gr

Δυο αναδρομικές

Δυο αναδρομικές

Re: Δυο αναδρομικές

Re: Δυο αναδρομικές

Re: Δυο αναδρομικές

Re: Δυο αναδρομικές

Re: Δυο αναδρομικές