mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 04, 2025 12:16 am**

.
Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί υπάρχουν μεταξύ των

$\displaystyle{\left [ \dfrac {1^2}{100} \right ], \, \left [ \dfrac {2^2}{100}\right ], \, \left [ \dfrac {3^2}{100}\right ], \, ...\, ,\,\left [ \dfrac {99^2}{100}\right ], \, \left [ \dfrac {100^2}{100}\right ] \,}$ ;

(Το [.]

δηλώνει ακέραιο μέρος.)

(Aς την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 15, 2025 7:03 pm**

Ανοικτή σε όλους.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 15, 2025 8:41 pm**

Θα εργαστούμε στους ακεραίους x=1,2,...,24.

Για

είναι $\displaystyle \left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor =0.$
Για $\displaystyle x=10,11,...,14:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor=1.$
Για $\displaystyle x=15,16,17:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor =2.$
Για $\displaystyle x=18,19:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor=3.$
Για $\displaystyle x=20,21,22:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor=4.$
Για $\displaystyle x=23,24:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor=5.$
Όμως $\displaystyle \left \lfloor \frac{\left ( 50-x \right )^{2}}{100}\right \rfloor=25-x+\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor,\forall x\in \left\{ 1,2,...,24\right\}.$ Έτσι για i=26,27,...,49

παράγουμε τα διαφορετικά ακέραια μέρη $\displaystyle \left \lfloor \frac{i^{2}}{100}\right \rfloor=6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,...,24.$ Επίσης $\displaystyle \left \lfloor \frac{25^{2}}{100}\right \rfloor=6,\left \lfloor \frac{50^{2}}{100}\right \rfloor=25,$ άρα για i=1,2,...,50

έχουμε παράξει τα διαφορετικά ακέραια μέρη $\displaystyle \left \lfloor \frac{i^{2}}{100}\right \rfloor=0,1,2,...,25.$ Όμως $\displaystyle \left \lfloor \frac{\left ( 100-x \right )^{2}}{100}\right \rfloor=100-2x+\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor,\forall x\in \left\{ 1,2,...,99\right\}.$ Έτσι για $\displaystyle i=76,77,...,99,$ παράγουμε τα διαφορετικά ακέραια μέρη $\displaystyle \left \lfloor \frac{i^{2}}{100}\right \rfloor=57,59,60,62,64,65,67,68,70,72,73,75,77,79,81,82,84,86,...,98.$ Όμως $\displaystyle \left \lfloor \frac{\left ( 50+x \right )^{2}}{100}\right \rfloor=25+x+\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor,\forall x\in \left\{ 1,2,...,24\right\},$ άρα για i=51,52,...,74,

παράγουμε τα διαφορετικά ακέραια μέρη $\displaystyle \left \lfloor \frac{i^{2}}{100}\right \rfloor=26,27,...,34,36,37,38,39,40,42,43,44,46,47,49,50,51,53,54.$ Επίσης $\displaystyle \left \lfloor \frac{75^{2}}{100}\right \rfloor=50+\left \lfloor \frac{25^{2}}{100}\right \rfloor=56,\left \lfloor \frac{100^{2}}{100}\right \rfloor=100.$ Επομένως για $\displaystyle i=51,...,100$ παράξαμε ως διαφορετικά ακέραια μέρη όλους τους ακεραίους αριθμούς από

έως

εξαιρουμένων των 35,41,45,48,55,58,61,63,66,69,71,74,76,78,80,83,85,87,89,91,93,95,97,99,

πλήθους

Άρα για

παράξαμε ως διαφορετικά ακέραια μέρη όλους τους ακεραίους από

έως

εξαιρουμένων

από αυτούς. Οπότε παράξαμε συνολικά 101-24=77

διαφορετικά ακέραια μέρη.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 16, 2025 7:21 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Νοέμ 04, 2025 12:16 am .
Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί υπάρχουν μεταξύ των

$\displaystyle{\left [ \dfrac {1^2}{100} \right ], \, \left [ \dfrac {2^2}{100}\right ], \, \left [ \dfrac {3^2}{100}\right ], \, ...\, ,\,\left [ \dfrac {99^2}{100}\right ], \, \left [ \dfrac {100^2}{100}\right ] \,}$ ;

(Το δηλώνει ακέραιο μέρος.)

(Aς την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.)

Το παρακάτω πρόγραμμα είναι στην C.

Κώδικας: Επιλογή όλων

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

size_t differentElements(size_t n) {
if (n == 0)
    return 0;
    
size_t counter = 1;
unsigned short prev = 0; //Επειδή (1 * 1) / 100 δίνει 0

for (size_t i = 2; i <= n; i++) {
    unsigned short val = (i*i) / 100;  
    if (val > prev) {  
        counter++;  
        prev = val;  
    }  
}  
return counter;
}

int main() {
printf("In total there are %zu different elements.", differentElements(100));
return EXIT_SUCCESS;
}

mathematica.gr

Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

Re: Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

Re: Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

Re: Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.