mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 12, 2025 9:55 am**

: Πολυθεσίτης.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

Τα σημεία M , N

είναι τα μέσα των ακτίνων OA , OB

αντίστοιχα , ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

.

Βρείτε όλες τις θέσεις του σημείου

του ημικυκλίου , για τις οποίες να είναι : $SM \cdot SN =r^2$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 12, 2025 10:12 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 12, 2025 9:55 am Πολυθεσίτης.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των ακτίνων αντίστοιχα , ημικυκλίου διαμέτρου .

Βρείτε όλες τις θέσεις του σημείου του ημικυκλίου , για τις οποίες να είναι : $SM \cdot SN =r^2$ .

Με αρχή των αξόνων το O(0,0)

, ο κύκλος είναι ο x^2+y^2=r^2

και $M(-r/2,0), \, N(r/2, \,0)$ . H δοθείσα γράφεται $SM^2 \cdot SN^2 =r^4$ , οπότε

$\displaystyle{ \left ( \left ( x+ \dfrac {r}{2} \right ) ^2+ y^2 \right ) \left ( \left ( x-\dfrac {r}{2} \right ) ^2+ y^2 \right ) =r^4}$ ή αλλιώς

$\displaystyle{ \left ( \left ( x+ \dfrac {r}{2} \right ) ^2+ r^2 -x^2\right ) \left ( \left ( x-\dfrac {r}{2} \right ) ^2+ r^2 -x^2 \right ) =r^4}$

από όπου αμέσως (ανάγεται σε δευτεροβάθμια) $x= \pm \dfrac {3}{4}r$ . Με άλλα λόγια $S \left (\pm \dfrac {3}{4}r, \, \dfrac {\sqrt 7}{4}r \right)$ $.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 12, 2025 10:46 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 12, 2025 9:55 am Πολυθεσίτης.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των ακτίνων αντίστοιχα , ημικυκλίου διαμέτρου .

Βρείτε όλες τις θέσεις του σημείου του ημικυκλίου , για τις οποίες να είναι : $SM \cdot SN =r^2$ .

Αν

τότε $SN=\dfrac{r^2}{x}$ και με θεώρημα διαμέσων στο SMN

έχω:

$\displaystyle {x^2} + \frac{{{r^4}}}{{{x^2}}} = \frac{{5{r^2}}}{2} \Leftrightarrow 2{x^4} - 5{r^2}{x^2} + 2{r^4} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = r\sqrt 2 }$ ή $\boxed{x = \frac{{r\sqrt 2 }}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 12, 2025 10:47 am**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathematica.gr

Πολυθεσίτης

Πολυθεσίτης

Re: Πολυθεσίτης

Re: Πολυθεσίτης

Re: Πολυθεσίτης