mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 18, 2025 8:53 am**

: Αριστερή στροφή.png (7.81 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στην διάμετρο AB=2r

ενός ημικυκλίου από το

προς το

. Περνώντας

το κέντρο

, στρίβει απότομα αριστερά και κινούμενο κάθετα προς την

φθάνει στο σημείο

του ημικυκλίου . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της διαδρομής του . Απαιτείται αναλυτική απάντηση .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 19, 2025 7:49 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 18, 2025 8:53 am Αριστερή στροφή.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην διάμετρο ενός ημικυκλίου από το προς το . Περνώντας

το κέντρο , στρίβει απότομα αριστερά και κινούμενο κάθετα προς την φθάνει στο σημείο

του ημικυκλίου . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της διαδρομής του . Απαιτείται αναλυτική απάντηση .

.

: αριστερή στροφή.png (8.19 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

.
Έστω

. Από την ανισότητα $(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)$ (είναι ισοδύναμη της $(a-b)^2\ge 0$ ) με ισότητα όταν a=b

, έχουμε ότι η διαδρομή είναι

$AO+OS+ST= r+(x+\sqrt {r^2-x^2}) \le r+\sqrt {2[x^2+ (r^2-x^2)]}= r+r\sqrt2$

με ισότητα όταν $x= \sqrt {r^2-x^2}$ , δηλαδή $x= \dfrac {r\sqrt {2}} {2}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 19, 2025 7:44 pm**

: max.png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

Το μέγιστο της κόκκινης διαδρομής είναι το μέγιστο της συνάρτησης: $\displaystyle{f(x)=r(1+cosx+sinx), \ \ x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]}$ .

Είναι $\displaystyle{f΄(x)=r(cosx-sinx), \ \ x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]}$ . Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βλέπουμε ότι

$\displaystyle{f΄(x)>0 \Leftrightarrow cosx>sinx \Leftrightarrow \ \ x \in \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right)}$

$\displaystyle{f΄(x)<0 \Leftrightarrow cosx<sinx \Leftrightarrow \ \ x \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right]}$

Άρα η συνάρτηση έχει μέγιστο στο $\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}$ το $\displaystyle{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=r+r\sqrt{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 19, 2025 7:53 pm**

Το μέγιστο της παραπάνω συνάρτησης

abgd έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:44 pm $\displaystyle{f(x)=r(1+cosx+sinx), \ \ x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]}$ .

μπορούμε να το δούμε και έτσι....

$\displaystyle{f(x)=r(1+cosx+sinx)= r\left(1+\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\leq r(1+\sqrt{2}), \ \ x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]}$

με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle{x=\dfrac{\pi}{4}}$ .

mathematica.gr

Αριστερή στροφή

Αριστερή στροφή

Re: Αριστερή στροφή

Re: Αριστερή στροφή

Re: Αριστερή στροφή