mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am**

: Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Στο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου AB=10

, θεωρώ σημείο

, τέτοιο ώστε οι SA , SB

να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία P , T

αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 19, 2025 8:58 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.pngΣτο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε οι να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

: Αδυναμία σημείου.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές

$\displaystyle SA \cdot PA + SB \cdot TB = SA(SA - SP) + SB(SB - ST) = S{A^2} + S{B^2} - 2(S{O^2} - {r^2})$

$\displaystyle SA \cdot PA + SB \cdot TB = 2S{O^2} + 2{r^2} - 2S{O^2} + 2{r^2} = 4{r^2} = 100$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 19, 2025 9:06 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.pngΣτο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε οι να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

To σημείο

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ASB

και το τετράπλευρο APNT

είναι εγγράψιμο σε κύκλο άρα

$AS.AP+SB.TB=AN.AT+BN.PB=AN^{2}+BN^{2}+2AN.NT= 2NO^{2}+50+50-2ON^{2}=100$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 19, 2025 5:41 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am Στο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε οι να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

.

: αδυναμία.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

.
Λίγο αλλιώς: Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα ASE, APB

έχουμε $SA \cdot PA = AE \cdot AB$ . Όμοια $SB \cdot TB = EB \cdot AB$ . Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε

$SA \cdot PA+SB\cdot TB = (AE + EB)\cdot AB = AB^2$ . Εδώ 100

.

(Γράφω από μέσα από το λεωφορείο των ΚΤΕΛ προς Λάρισα. Έχουν δικό τους εσωτερικό Wifi.

)

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 20, 2025 3:54 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.pngΣτο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε οι να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

Μια λύση με χρήση εμβαδών..

Φτιάχνουμε τα τετράγωνα APDK,TBLN

κι έστω ότι οι κάθετες στην

στα

τέμνουν τις KD,NL

στα

Λόγω της προφανούς ισότητας των κόκκινων γωνιών ,είναι $\triangle APB= \triangle MKA$ και

λόγω ισότητας των μπλε γωνιών είναι $\triangle ATB= \triangle HLB$

Άρα AM =AB =BH