mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 25, 2025 9:53 am**

: Βράχος.png (20.68 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές

Τα σημεία

είναι σταθερά , όπως και ο κύκλος (O)

. Από τα

, διέρχεται μεταβλητός κύκλος ,

ο οποίος τέμνει τον (O)

στα σημεία P ,T

. Δείξτε ότι το τμήμα

διέρχεται από σταθερό σημείο

,

του τμήματος

και με τα δεδομένα του σχήματος υπολογίστε το τμήμα

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 25, 2025 8:15 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 25, 2025 9:53 am Τα σημεία είναι σταθερά , όπως και ο κύκλος . Από τα , διέρχεται μεταβλητός κύκλος ,

ο οποίος τέμνει τον στα σημεία . Δείξτε ότι το τμήμα διέρχεται από σταθερό σημείο ,

του τμήματος και με τα δεδομένα του σχήματος υπολογίστε το τμήμα .

.

: Βράχος.png (34.54 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές

.
Έστω

η ακτίνα του δοθέντα κύκλου (εδώ R=3

). To κέντρο

του κύκλου που διέρχεται από τα A,B

είναι στην μεσοκάθετο

του

.

Η δύναμη του σημείου

ως προς τον δοθένα κύκλο είναι $PS\cdot ST= R^2-OS^2$ . Του ίδιου σημείου η δύναμη ως προς τον κόκκινο κύκλο είναι $PS\cdot ST= KA^2-SK^2$ . Άρα

R^2-OS^2= KA^2-SK^2= (AC^2+CK^2)-(CK^2+SC^2)= AC^2- SC^2

R^2-OS^2= KA^2-SK^2= (AC^2+CK^2)-(CK^2+SC^2)= AC^2- SC^2

, που σημαίνει

$\boxed {OS^2- SC^2 = R^2- AC^2 = }$ σταθερό.

Άρα το

βρίσκεται στην κάθετο του σταθερού

και η κάθετος αυτή διέρχεται από σταθερό σημείο του

(τόπος του Απολλωνίου για σταθερή διαφορά τετραγώνων). Αυτό ολοκληρώνει το ζητούμενο.

Το μήκος

είναι τώρα άμεσο για τα δοθέντα νούμερα (το αφήνω ως απλές πράξεις, άνευ ιδιαίτερης σημασίας).

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 26, 2025 12:40 pm**

: Βράχος.png (24.71 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές

Παραθέτω αναλυτικότερο σχήμα για την τελική εύρεση της θέσης του

( είναι η λύση του Μιχάλη ).

Δεν νομίζω όμως ότι ο υπολογισμός του

είναι τόσο άμεσος , θα ήθελα μια λύση ...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 26, 2025 5:21 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 26, 2025 12:40 pm Δεν νομίζω όμως ότι ο υπολογισμός του είναι τόσο άμεσος , θα ήθελα μια λύση ...

.
Το αντίθετο. Το θέμα είναι πολύ απλό, και ορθότατα γράφω
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Νοέμ 25, 2025 8:15 pm Το μήκος είναι τώρα άμεσο για τα δοθέντα νούμερα (το αφήνω ως απλές πράξεις, άνευ ιδιαίτερης σημασίας).

.

Άφησα το θέμα συνειδητά διότι δεν προσθέτει τίποτα αλλά περνάει μόνο από επίπονες και ανιαρές αλλά τετριμμένες πράξεις.

Το κύριο και ενδιαφέρον μέρος της άσκησης να αποδειχθεί σταθερότητα του σημείου

. Η εύρεση του μήκους του

χαλάει την κομψότητα και λιτότητα της άσκησης. Έχω τουλάχιστον τρεις τρόπους εύρεσης του μήκους αλλά η ενασχόληση με το θέμα είναι χωρίς ουσιαστική προσθήκη στις αρετές της άσκησης. Άλλωστε τα απαραίτητα Μαθηματικά είναι ήδη γραμμένα στα παραπάνω. Ας τα δούμε, κατά παρέκκλιση, γιατί θέλω να επισημάνω κάτι στο τέλος του παρόντος ποστ:

Επειδή το

είναι στην ευθεία

που έχει εξίσωση $y = \dfrac {-3x+7}{5}$ σημαίνει ότι $S\left ( x, \, \dfrac {-3x+7}{5} \right )$ . Επίσης είναι
$OS^2-SC^2= R^2-AC^2= 9 - \dfrac {17}{2}= \dfrac {1}{2}$

Άρα έχουμε την εξίσωση

$(x-0)^2+\left ( \dfrac {-3x+7}{5}-0 \right )^2- \left (x- \dfrac {3}{2}\right )^2- \left ( \dfrac {-3x+7}{5}-\dfrac {1}{2} \right )^2 = \dfrac {1}{2}$

Λύνοντας την εξίσωση (ανάγεται σε πρωτοβάθμια) θα βρούμε $x= \dfrac {2}{3}$ , δηλαδή $S\left ( \dfrac {2}{3},\, 1 \right )$ . Είναι τότε, από τις συντεταγμένες των A, S

το μήκος $\boxed {AS= \dfrac {\sqrt {34}}{3}}$

Ας ξανατονίσω πως πιστεύω ότι πολύ καλά χειρίστηκα το θέμα αρχικά (δηλαδή απέφυγα τις ανούσιες πράξεις) για να μη χανόμαστε σε δευτερεύουσες λεπτομέρειες. Αλλιώς κινδυνεύουμε, όπως έγραψα και αλλού, να γίνουμε "pedantic", μία λέξη των παιδαγωγών που "developed a more negative meaning related to a specific type of tiresome, overly precise teaching.

mathematica.gr

Βράχος

Βράχος

Re: Βράχος

Re: Βράχος

Re: Βράχος