mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 20, 2025 6:49 am**

: Ο τρίτος της παρέας.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές

Α) Αν για κάποια οξεία γωνία $\theta$ , είναι : $\cos\theta=\tan\theta$ , με τι ισούται το $\sin\theta$ ;

Β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το σημείο

είναι η προβολή του μέσου

της

, στην

υποτείνουσα

. Αν : $BS=\dfrac{1}{2}AC$ , υπολογίστε το

και απαντήστε στο ερώτημα Α) !

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 20, 2025 9:03 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 20, 2025 6:49 am Ο τρίτος της παρέας.pngΑ) Αν για κάποια οξεία γωνία $\theta$ , είναι : $\cos\theta=\tan\theta$ , με τι ισούται το $\sin\theta$ ;

Β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι η προβολή του μέσου της , στην

υποτείνουσα . Αν : $BS=\dfrac{1}{2}AC$ , υπολογίστε το και απαντήστε στο ερώτημα Α) !

A) Δίνεται $\cos \theta = \tan \theta = \dfrac {\sin \theta }{\cos \theta}$ . Άρα $\sin \theta = \cos ^2 \theta = 1-\sin ^2 \theta$ . Λύνοντας την δευτεροβάθμια ως προς $\sin \theta$ θα βρούμε $\sin \theta = \dfrac {\sqrt 5 -1} {2} = \dfrac {1}{\phi}$ .

B) $CS = CB-SB= \dfrac {CA} {\sin \theta }- \dfrac{1}{2}AC= \phi AC- \dfrac{1}{2}AC = 2\phi x - x= \sqrt 5 x$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 20, 2025 9:13 am**

Καλημέρα σε όλους.
Νομίζω, στο (Α) απαντάμε, άμεσα, δίχως τη συμβολή της Γεωμετρίας.

Για οξεία γωνία $\displaystyle \theta$ έχουμε $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta = \varepsilon \varphi \theta \Leftrightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\theta = \eta \mu \theta \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\theta + \eta \mu \theta - 1 = 0 \Leftrightarrow \eta \mu \theta = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} = \frac{1}{\varphi }$

Κατόπιν, χρησιμοποιώντας το παραπάνω αποτέλεσμα, υπολογίζουμε το ζητούμενο μήκος.

Οπότε, $\displaystyle \sigma \upsilon {\nu ^2}\theta = 1 - \frac{1}{{{\varphi ^2}}} = \frac{{{\varphi ^2} - 1}}{{{\varphi ^2}}} = \frac{1}{\varphi } \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \theta = \sqrt {\frac{1}{\varphi }} \Rightarrow x = \frac{1}{{2\sqrt \varphi }}c=c\frac{\sqrt{\varphi -1}}{2}$ .

: Ο τρίτος της παρέας.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές

Στο

, $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta = \frac{{2x}}{c}$ . Στο ABC

, $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{2x}}{c}$ , άρα $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta = \varepsilon \varphi \theta$

Από την ομοιότητα των MSB, ABC

έχουμε $\displaystyle \frac{x}{c} = \frac{c}{{2BC}}$

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στo ABC

είναι $\displaystyle B{C^2} = {c^2} + 4{x^2}$

Οπότε $\displaystyle \frac{x}{c} = \frac{c}{{2BC}} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt \varphi }} = \frac{c}{{BC}} \Leftrightarrow BC = c\sqrt \varphi \Rightarrow CS = c\sqrt \varphi - \frac{c}{{2\sqrt \varphi }} = c\left( {\frac{{2\varphi - 1}}{{2\sqrt \varphi }}} \right)$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 20, 2025 9:19 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 20, 2025 6:49 am Ο τρίτος της παρέας.pngΑ) Αν για κάποια οξεία γωνία $\theta$ , είναι : $\cos\theta=\tan\theta$ , με τι ισούται το $\sin\theta$ ;

Β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι η προβολή του μέσου της , στην

υποτείνουσα . Αν : $BS=\dfrac{1}{2}AC$ , υπολογίστε το και απαντήστε στο ερώτημα Α) !

Α) όπως ο Μιχάλης και ο Γιώργος.

Β) $\displaystyle BS \cdot BC = BM \cdot BA \Leftrightarrow \frac{{ab}}{2} = \frac{{{c^2}}}{2} \Leftrightarrow {a^2} - ab - {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}b = b\phi$

$\displaystyle CS = a - \frac{b}{2} = \frac{{2a - b}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{CS = \frac{{b\sqrt 5 }}{2}}$

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{BS}}{{MB}} = \frac{b}{c} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \theta$ και $\boxed{\sin \theta = \frac{b}{a} = \frac{1}{\phi }}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 20, 2025 9:40 am**

Ευχαριστώ τον κ. Καραντάνα Θ. που μου υπέδειξε το λάθος μου στο δεύτερο ερώτημα το οποίο είχα απαντήσει βιαστηκά.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 20, 2025 6:00 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 20, 2025 6:49 am Ο τρίτος της παρέας.pngΑ) Αν για κάποια οξεία γωνία $\theta$ , είναι : $\cos\theta=\tan\theta$ , με τι ισούται το $\sin\theta$ ;

Β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι η προβολή του μέσου της , στην

υποτείνουσα . Αν : $BS=\dfrac{1}{2}AC$ , υπολογίστε το και απαντήστε στο ερώτημα Α) !

$tan \theta =cos \theta \Leftrightarrow \dfrac{b}{c}= \dfrac{c}{a} \Leftrightarrow c^2=ab \Leftrightarrow a^2-b^2=ab \Leftrightarrow ( \dfrac{b}{a})^2+ \dfrac{b}{a}-1=0 \Rightarrow sin \theta = \dfrac{b}{a}= \dfrac{ \sqrt{5}-1 }{2}= \dfrac{1}{ \Phi }$

$\triangle DCE \simeq \triangle SMB \Rightarrow \dfrac{CE}{MB} = \dfrac{DE}{SB} \Rightarrow \dfrac{ \dfrac{a}{2} }{ \dfrac{c}{2} } = \dfrac{ \dfrac{c}{2} }{ \dfrac{b}{2} } \Rightarrow \dfrac{b}{c}= \dfrac{c}{a} \Leftrightarrow tan \theta =cos \theta$

: Ο τρίτος της παρέας.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

mathematica.gr

Ο τρίτος της παρέας

Ο τρίτος της παρέας

Re: Ο τρίτος της παρέας

Re: Ο τρίτος της παρέας

Re: Ο τρίτος της παρέας

Re: Ο τρίτος της παρέας

Re: Ο τρίτος της παρέας