mathematica.gr

Ευθεία διερχόμενη από το σημείο τέμνει τις ημιευθείες και ,
στα σημεία και αντίστοιχα . Βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου .

α) Με χρήση συντεταγμένων για το συγκεκριμένο σχήμα .

β) Για τυχούσα γωνία και τυχόν εσωτερικό σημείο . Επαναλαμβάνω ότι δεν έχω συναντήσει

σχετική άσκηση στην γενική εκδοχή (για την ελάχιστη περίμετρο ) στο

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 07, 2026 11:20 pm β) Για τυχούσα γωνία και τυχόν εσωτερικό σημείο . Επαναλαμβάνω ότι δεν έχω συναντήσει

σχετική άσκηση στην γενική εκδοχή (για την ελάχιστη περίμετρο )

Θανάση, το πρόβλημα υπάρχει σε πολλά σημεία της βιβλιογραφίας. Δεν ξέρω αν υπάρχει στο εδώ φόρουμ αλλά πρόκειται για κοινό/γνωστό πρόβλημα.

Μία παραπομπή είναι στο βιβλίο Honsberger, Mathematical Gems II, σελίς 166. Όπως όλα τα βιβλία του Honsberger, είναι πολυδιαβασμένο, και επάξια, αφού είναι γεμάτα διαμαντάκια (όπως δηλώνει ο τίτλος του). Επισυνάπτω:
. . . .

Υπάρχει σχετική συζήτηση ΕΔΩ.

Λογικό που δυσκολεύτηκε ο Θανάσης να το βρει, γιατί ο θεματοδότης είχε θεωρήσει καλό να σβήσει τις αναρτήσεις του. (Ασχολίαστο).

Είναι καταπληκτικό το πόσο δύσκολο είναι να υπολογίσει κανείς την ελάχιστη περίμετρο με χρήση συντεταγμένων και συνάρτησης .
Όποιος θέλει μπορεί να δοκιμάσει ! Για διευκόλυνσή του , αν ονομάσουμε την κλίση του είναι : και :
.

Ο υπολογισμός δεν είναι εύκολος και στην περίπτωση που γνωρίζουμε την κλασική λύση , όμως η δυσκολία μειώνεται δραματικά !

Τώρα που βλέπετε το σχήμα , ξέρετε ότι η ελάχιστη περίμετρος του , είναι πολύ απλά : . Άριστα !

Θανάση αυτό ξαναπές το. Δοκίμασα και με συντεταγμένες και με πλαγιογώνιο σύστημα όπου την απόσταση την υπολογίζουμε με Νόμο Συνημιτόνων, αλλά το ελάχιστο δεν έβγαινε με κλασικές μεθόδους.
Βγαίνει ελάχιστο το όταν το είναι ισοσκελές με .

Τότε η τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο με μέσο της .
Εδώ η Γεωμετρία νικάει κατά κράτος. Το ομολογώ.

Το κέντρο του συγκεκριμένου κύκλου προσδιορίζεται ως σημείο τομής (το πιο μακρυνό από την κορυφή της γωνίας) της διχοτόμου της γωνίας με την παραβολή που ορίζεται με εστία το δοδμένο σημείο και διευθετούσα μία από τις πλευρές της γωνίας. Οπότε είναι ζήτημα επίλυσης ενός συστήματος.