mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 14, 2026 6:38 pm**

: Μεταβλητός κύκλος.png (13.06 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

Η πλευρά

του παραλληλογράμμου OABC

, είναι οριζόντια και έχει μήκος

,
ενώ η

έχει σταθερή κλίση : $\lambda=\dfrac{1}{2}$ , αλλά μεταβλητό μήκος

.
α) Δείξτε ότι ο κύκλος ( A , B , C )

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο ( πλην του

) .

β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου

του παραπάνω κύκλου .

γ) Υπολογίστε την ακτίνα

του κύκλου συναρτήσει του

και βρείτε το ελάχιστό της .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 14, 2026 9:03 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 14, 2026 6:38 pm Μεταβλητός κύκλος.pngΗ πλευρά του παραλληλογράμμου , είναι οριζόντια και έχει μήκος ,
ενώ η έχει σταθερή κλίση : $\lambda=\dfrac{1}{2}$ , αλλά μεταβλητό μήκος .
α) Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο ( πλην του ) .

β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του παραπάνω κύκλου .

γ) Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου συναρτήσει του και βρείτε το ελάχιστό της .

.

: μεταβλητ.png (25.51 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές

.
Θα το κάνω για γενική γωνία $\theta$ και γενικό OA=a

.

α) 'Εστω ότι ο κύκλος ABC

τέμνει την

στο

. Θα δείξουμε ότι αυτό είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο. Πράγματι οι ισότητες γωνιών

$\widehat {\phi}= \widehat {\omega}$ (βλέπουν το ίδιο τόξο

) και $\widehat {\omega}=\widehat {\theta}$ (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου) δίνουν ότι $\widehat {\phi}= \widehat {\theta}$ . Άρα AD= OA=

σταθερό, από όπου το ζητούμενο.

γ) Για την ακτίνα του κύκλου είναι

$2r= \dfrac {AC}{\sin \phi}= \dfrac {\sqrt {OA^2+OC^2-2OA\cdot OC \cos \theta }}{\sin \theta} = \dfrac {\sqrt {a^2+b^2-2ab \cos \theta }}{\sin \theta}$

από όπου η ακτίνα. (Υπόψη ότι για τα δοθέντα νούμερα είναι $\tan \theta = \dfrac {1}{2}, \, \sin \theta = \dfrac {\sqrt 5}{5} , \, \cos \theta = \dfrac {2\sqrt 5}{5}$ )

Προσθήκη αργότερα: Είχα ξεχάσει να βρω το ελάχιστο της ακτίνας, ισοδύναμα του $a^2+b^2-2ab \cos \theta$ ( $a, \theta$ σταθερά,

μεταβλητό). Αλλά αυτό είναι άμεσο από το τριώνυμο ως προς

, και προκύπτει όταν $b= a\cos \theta$ . H τιμή της ελάχιστης ακτίνας, με απλοποίιηση του παραπάνω, είναι $r_{min} = a/2$ .

β) Το κέντρο

κινείται στην μεσοκάθετο το σταθερού διασήματος

, οπότε ο ζητούμενος τόπος είναι η κόκκινη γραμμή του σχήματος.

mathematica.gr

Μεταβλητός κύκλος

Μεταβλητός κύκλος

Re: Μεταβλητός κύκλος