mathematica.gr

Με αρχή το σημείο ενός κύκλου σχεδιάζουμε δύο χορδές του και .

Η κάθετη από το προς την , τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η κάθετη

από το προς την , τέμνει την στο . Δείξτε ότι : ,

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 17, 2026 3:25 am Αναπάντεχη ισότητα.png Με αρχή το σημείο ενός κύκλου σχεδιάζουμε δύο χορδές του και .

Η κάθετη από το προς την , τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η κάθετη

από το προς την , τέμνει την στο . Δείξτε ότι : ,

. .
α) Είναι από το εγγράψιμο . Επίσης είναι (βαίνουν στο ίδιο τόξο). Άρα , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, από όπου αμέσως το ζητούμενο.

β) Άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου , και το ζητούμενο είναι γνωστή ιδιότητα του ορθοκέντρου την οποία βρίσκει κανείς σε όλες τις καλές Γεωμετρίες. Και μάλιστα υπάρχει ήδη από την αρχαιότητα στην Συναγωγή του Πάππου, στο σημείο όπου δίνει τα βήματα της απόδειξης του Απολλωνίου ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν.

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 17, 2026 3:25 am

Αναπάντεχη ισότητα.png

Με αρχή το σημείο ενός κύκλου σχεδιάζουμε δύο χορδές του και .

Η κάθετη από το προς την , τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η κάθετη

από το προς την , τέμνει την στο . Δείξτε ότι : ,

Οι γωνίες και είναι οξείες γωνίες λόγω των ορθογωνίων τριγώνων και αντίστοιχα επίσης αυτές οι γωνίες έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους κάθετες άρα είναι ίσες.

Σχεδιάζοντας το ευθύγραμμο τμήμα έχουμε ότι οι γωνίες και είναι ίσες διότι είναι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Άρα το ευθύγραμμο τμήμα είναι διάμεσος του δεδομενου ότι είναι ύψος και λόγω ότι από τα παραπάνω είναι και διχοτόμος της γωνίας

Προφανώς τώρα το είναι μέσο της και το ζητούμενο έπεται.